Matemática, perguntado por isabelautrine, 3 meses atrás

Jandira é uma administradora de um teatro e percebeu que, com o ingresso do evento a R$ 50,00, um show conseguiria atrair 400 pessoas e que, a cada R$ 1,00 de redução no preço do ingresso, o número de pessoas aumentava em 40. Ela sabe que os donos do teatro só admitem trabalhar com valores inteiros para os ingressos,

pela dificuldade de disponibilizar troco, e pretende convencê-los a diminuir o preço do ingresso. Responda os itens abaixo para que Jandira tenha argumentos válidos a fim de melhorar a receita do teatro.
a) Considerando x como a quantidade de reduções de R$ 1,00, descreva uma função que modele o valor arrecadado pelo teatro em função de x.
b) Calcule o valor de x que gera a maior arrecadação possível e, após isso, conclua o valor de venda do ingresso que gere essa arrecadação máxima.
c) Comparando com o valor de venda do ingresso antes da intervenção de Jandira, em quanto aumentou a arrecadação do teatro?
d) Para expressar melhor os resultados, construa um gráfico que represente essa função. Não deixe de destacar o ponto (com as devidas coordenadas) de maior receita.

Soluções para a tarefa

Respondido por igorpiske

Se a cada 1 real que se diminui do valor acrescenta 40 pessoas, podemos representar a função como: f(x)=(50-x)*(400+40x), fazendo a multiplicação distributiva obtemos:

20000+2000x-400x-40x²

20000+1600x-40x²

Então já temos a resposta da letra A

A) f(x)=-40x²+1600x+20000

B) Para calcular o ponto máximo de X temos a fórmula: $Xv=-\frac{b}{2a}$

Que substituinto a= -40 e b= 1600, encontramos que o valor do ingresso que gera a maior arrecadação é de R$20,00 por ingresso, e substituindo x=20 na fórmula da letra A, obtemos uma arrecadação total de R$36000,00

C) O valor arrecadado antes era de R$20000,00 e agora é de R$36000,00. Portanto houve um aumento de R$16000,00

D) O gráfico você pode montar usando a formula da letra A, anexei um gráfico gerado pelo google pra te ajudar

Não esqueça de avaliar a resposta, qualquer dúvida pode comentar!

Anexos:

Respondido por LHaconite

a) A função do segundo grau que representa os dados da questão é f(x) = - 40x² + 1600x + 20000.

b) O menor valor de ingresso é igual a R$ 20,00 reais que consegue arrecadar um valor total de R$ 36.000 reais.

c) A diferença entre as duas situações é que por meio da intervenção foi possível arrecadar mais R$16.000 reais com o show.

d) Podemos identificar o gráfico da função conforme a imagem no final da resolução.

Equação do 2° grau

São representadas pelas equações que apresentam uma variável elevada ao quadrado, assim apresentam na forma de f(x) = ax² + bx + c, onde as letras são números.

Para a letra A

Para descobrir a função, temos que relacionar os dados de valor de ingresso e total de pessoas que o show consegue atrair, sendo:

Com o ingresso a R$ 50,00 reais e que atrai 400 pessoas
Cada R$ 1,00 real de redução atrai 40 pessoas a mais

Podemos escrever a função em duas partes, na primeira para a redução do valor do ingresso, e na segunda para o número de pessoas que iriam ser atraídas pela redução do valor, da seguinte forma:

Primeira = (50 - x)
Segunda = (400 + 40x)

$f(x) = (50-x).(400 + 40x)\\\\f(x) = 20000 +2000x -400x -40x^{2} \\\\f(x) = -40x^{2} +1600x +20000\\$

Portanto, a função do segundo grau que representa os dados da questão é f(x) = -40x² + 1600x +20000.

Para letra B

Para calcular o valor máximo da função, iremos usar o x e y do vértice, assim, temos que verificar a concavidade da função, como o valor de "x²" é negativo, podemos perceber uma concavidade para baixo.

X do vértice = $\frac{-b}{2a}$
Y do vértice = $\frac{-\alpha }{4a}$

Porém, temos que descobrir o delta da função para aplicar o y do vértice, logo teremos:

$\alpha = (b)^{2} - 4.(a).(c) \\\\\alpha = (1600)^{2} - 4.(-40).(20000) \\\\\alpha = (2560000)+ (3200000)\\\\\alpha = 5760000$

Para X do vértice

$x_{v} = \frac{-b}{2a} = \frac{-1600}{(-40).(2)} = \frac{1600}{80} = 20$

Para Y do vértice

$y_{v} =\frac{-\alpha }{4.a} =\frac{-5760000}{(4).(-40)} =\frac{-5760000}{-160} = 36000$

Portanto, o menor valor de ingresso é igual a R$ 20,00 reais que consegue arrecadar um valor total de R$ 36.000 reais.

Para letra C

Para comparar o valor inicial de arrecadação com a intervenção de Jandira, podemos fazer por meio da subtração das duas situações, sendo elas:

Valor inicial = $(400).(50) = 20.000$
Valor com intervenção = $36.000$

$36.000 - 20.000 = 16.000$

Portanto, a diferença entre as duas situações é que por meio da intervenção foi possível arrecadar mais R$16.000 reais com o show.

Para letra D

Para construir o gráfico, precisamos relacionar os seguintes dados:

Delta e raízes da função
X e Y do vértice
Valor de corta o eixo y
Direção da concavidade

Descobrindo as raízes da função:

$x = \frac{-b - \sqrt{\alpha } }{2.a} \\\\x_{1} = \frac{-1600 - \sqrt{5760000 } }{2.(-40)} = \frac{-1600 - 2400 }{-80} = \frac{-4000}{-80} = 50\\\\\\x_{2} = \frac{-1600 + \sqrt{5760000 } }{2.(-40)} =\frac{-1600 + 2400}{-80} =\frac{800}{-80} =-10$