Question

Ja tentei mas não consigo preciso de ajuda...
Descreva o termo intermediário do binômio (a+b) ^8

Answer 1

Binômio de Newton:

$\boxed{\boxed{(a+b)^{n}=\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n,i}\cdot a^{n-i}\cdot b^{i}}}$

Termo geral do Binômio de Newton (utilizaremos esse):

$\boxed{\boxed{T_{i+1}=C_{n,i}\cdot x^{n-i}\cdot y^{i}}}$
_________________________

(a + b)¹ = a + b (2 termos)
(a + b)² = a² + 2ab + b² (3 termos)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (4 termos)
...
(a + b)⁸ = [...] (9 termos)

Podemos perceber que o termo central do desenvolvimento do binômio estará na quinta posição ([9 + 1] / 2)

Então, queremos achar T₅

Se $T_{i+1}=T_{5}$, então i = 4. Portanto:

$T_{5}=T_{4+1}~~~\therefore~~~T_{5}=C_{8,4}\cdot a^{8-4}\cdot b^{4}~~~\therefore~~~T_{5}=\dfrac{8!}{4!(8-4)!}\cdot a^{4}b^{4}$

Então:

$T_{5}=\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4!}\cdot a^{4}b^{4}\\\\\\T_{5}=\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2}a^{4}b^{4}\\\\\\T_{5}=1\cdot7\cdot2\cdot5\cdot a^{4}b^{4}\\\\\\\boxed{\boxed{T_{5}=70a^{4}b^{4}}}$