Question

ITA-SP - Seja A a matriz 3×3 dada por A= [1 2 3]
[1 0 0]
[3 0 1]
Sabendo-se que B é a inversa de A, então a soma dos elementos de B vale:

a) 1 b) 2 c) 5 d) 0 e) -2

Answer 1

a questão é fácil, porém trabalhosa e você tem que ser bem detalhista para não errar nada,

vejamos;

A . B = Identidade 
toda matriz multiplicada pela sua inversa o resultada sempre será a identidade da matriz 3

antes vamos analisar o determinante, se for zero não existe inversa
det(A) = 0 + 0 + 0 - 2 - 0 - 0 = - 2
logo temos inversa

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\1&0&0\\3&0&1\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

faremos vários sistemas pela multiplicação das matrizes, acho que você sabe multiplicação de matriz, então farei mais direta

a + 2.d + 3.g = 1
b + 2.e + 3.h = 0
c + 2.f  + 3.i  = 0
 a + 0.d + 0.g = 0  , seja, a = 0
b + 0.e + 0.h = 1 , seja, b = 1
c + 0.f + 0.i = 0 , seja, c = 0
3.a + 0.d + 1.g = 0 , logo, 0 + 0 + 1g = 0 ;  g = 0
3.b + 0.e + 1.h = 0 , logo, 3.1 + 0 + h = 0;  h = -3
3.c + 0.f + 1.i = 1 , logo, 3.0 + 0 + i = 1 ; i = 1

faltam d , e , f


vamos pegar as primeiras equações

a + 2.d + 3.g = 1
0 + 2.d + 3.0 = 1
2.d = 1
d = 1/2

b + 2.e + 3.h = 0
1 + 2.e + 3.(-3) = 0
1 + 2.e - 9 = 0
2.e = 9 - 1
2.e = 8
e = 8/2
e = 4

c + 2.f + 3.i = 0
0 + 2.f + 3.1 = 0
2.f = -3
f = -3/2

a questão pede a soma dos elementos de B
a + b + c + d + e + f + g + h + i
0 + 1 + 0 + 1/2 + 4 - 3/2 + 0 - 3 + 1
organizando para que veja melhor
1 + 4 - 3 +1 + 1/2 - 3/2
3 - 2/2
3 - 1 = 2

logo, a soma é 2 letra B