Question

(ITA-SP)Se arg(z)=π/4 , então um valor para agr(-2iz)​

Answer 1

Resposta: 7π/4.

Explicação passo a passo:

Sejam $z_1,\,z_2$ dois números complexos. Vale a seguinte propriedade:

$\mathrm{arg}(z_1\cdot z_2)=\mathrm{arg}(z_1)+\mathrm{arg}(z_2)+k\cdot 2\pi$

sendo k o inteiro, tal que $\mathrm{arg}(z_1\cdot z_2)\in [0,\,2\pi).$

Para esta tarefa, sendo z um complexo tal que arg(z) = π/4, queremos calcular o argumento do número complexo − 2iz = − 2i . z.

Escrevendo o número − 2i na forma trigonométrica:

$-2i=0-2i=2\cdot(0-1i)\\\\ =2\cdot \left(\cos \dfrac{3\pi}{2}+i\cdot \mathrm{sen\,}\dfrac{3\pi}{2}\right)$

Logo, $\mathrm{arg}(-2i)=\dfrac{3\pi}{2}.$

Sendo assim, segue que

$\mathrm{arg}(-2iz)=\mathrm{arg}(-2i)+\mathrm{arg}(z)\\\\ =\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\\\\\\ =\dfrac{6\pi+\pi}{4}\\\\\\ =\dfrac{7\pi}{4}$

Como $\dfrac{7\pi}{4}\in [0,\,2\pi),$ então esta é a resposta.

Bons estudos! :-)