Question

(ITA-SP) O produto das raízes reais da equação |x²-3x+2| = |2x-3| é igual a:
a) -5
b) -1
c) 1
d) 2
e) 5

Answer 1

Olá!!

Sabemos da definição de módulo que: $\mathsf{|x| = \begin{cases} \mathsf{x, \qquad se \quad x \geq 0} \\ \mathsf{- x, \quad se \quad x < 0}\end{cases}}$.

 De modo análogo, temos que:

$\mathsf{|x^2 - 3x + 2| = \begin{cases} \mathsf{x^2 - 3x + 2, \qquad se \quad x \leq 1 \ ou \ x \geq 2} \\ \mathsf{- x^2 + 3x - 2, \quad \ se \quad 1 < x < 2}\end{cases}}$

 E,

$\mathsf{|2x - 3| = \begin{cases} \mathsf{2x - 3, \qquad se \quad x \geq \frac{3}{2} \qquad i)} \\ \mathsf{- 2x + 3, \quad \ se \quad x < \frac{3}{2} \qquad ii)}\end{cases}}$.


 Se $\mathsf{x \leq 1}$, fazemos uso da condição ii) na segunda equação modular, veja:

$\\ \mathsf{|x^2 - 3x + 2| = |2x - 3|} \\ \mathsf{x^2 - 3x + 2 = - 2x + 3} \\ \mathsf{x^2 - x - 1 = 0} \\\\ \mathsf{Sabemos \ que \ o \ produto \ das \ ra\acute{i}zes \ ser\acute{a} \ dada \ por:} \\\\ \mathsf{produto_1 = \frac{c}{a}} \Rightarrow \mathsf{produto_1 = \frac{- 1}{1}} \Rightarrow \boxed{\mathsf{produto_1 = - 1}}$


 Por conseguinte, se $\mathsf{x \geq 2}$, fazemos uso da condição i), veja:

$\\ \mathsf{|x^2-3x+2|=|2x-3|}\\\mathsf{x^2-3x+2=2x-3}\\\mathsf{x^2-5x+5=0}\\\\\mathsf{O \ produto \ das \ ra\acute{i}zes...} \\\\ \mathsf{produto_2 = \frac{c}{a}} \Rightarrow \mathsf{produto_2 = \frac{5}{1}} \Rightarrow \boxed{\mathsf{produto_2 = 5}}$


 Logo, a resposta é dada calculando-se o produto entre os três valores obtidos. Segue,

$\\ \mathsf{Produto_{total} = produto_1 \cdot produto_2} \\\\ \mathsf{Produto_{total} = (- 1) \cdot 5} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{Produto_{total} = - 5}}}$