Question

(ITA-SP)

Dado um número real a, com a > 1, seja S o conjunto solução da inequação

Então S é o intervalo

A
[4, +∞[
B
[4, 7[
C
]1, 5]
D
]1, 4]
E
[1, 4[

Answer 1

Resposta:

D

Explicação passo-a-passo:

Note que a condição de existência para x é:

x > 1

seja uma inequação:

$log_{k}(p) \leqslant log_{k}(t)$

se 0 < k < 1 . Então:

$p \geqslant t$

$log_{ \frac{1}{a} }( log_{a}( { \frac{1}{a} )}^{x - 7} ) \leqslant log_{ \frac{1}{a} }(x - 1) \\ log_{ \frac{1}{a} }( (x - 7) log_{a}( \frac{1}{a} ) ) \leqslant log_{ \frac{1}{a} }(x - 1)$

Como 0 < 1/a < 1 . Então:

$(x - 7) log_{a}( \frac{1}{a} ) \geqslant (x - 1) \\ (x - 7)( log_{a}(1) - log_{a}(a) ) \geqslant (x - 1) \\ (x - 7)(0 - 1) \geqslant (x - 1) \\ (x - 7) (- 1) \geqslant (x - 1) \\ ( - x + 7) \geqslant (x - 1) \\ 8 \geqslant 2x \\ x \leqslant 4$

Então, como x precisa ser maior que 1, ele não está incluso (colchete aberto) e x pode ser menor ou igual a 4 (colchete fechado):

S = ]1 , 4]

Answer 2

Resposta:

alternativa D

Explicação passo-a-passo:

condição de validade de logaritmos ⇒ logaritmando > 0

então   x - 1 > 0 ⇒ x > 1 ⇒ A = {x ∈ R / x > 1}

se, por proposta, a > 1 ⇒  0 < 1/a <  1

funções logarítmicas de base entre 0 e  1 são decrescentes logo quanto menor for o logaritmo maior será o logaritmando

então

log(bs)a[(1/a)^(x - 7)] ≥ x - 1

"enxergando" "x - 1" como logaritmo na base "a" ⇒ log(bs)a[a^(x - 1)]

então

log(bs)a[(1/a)^(x - 7)] ≥ log(bs)a[a^(x - 1)]

funções logarítmicas de base > 1  são crescentes logo quanto maior for o logaritmo maior será o logaritmando

então

(1/a)^(x - 7) ≥ a^(x - 1)

a^(-1)(x - 7) ≥ a^(x - 1)

-x + 7 ≥ x - 1

-x - x ≥ - 1 - 7

-2x ≥ -8

2x ≤ 8

x ≤ 8/2

x ≤ 4  ⇒ B = {x ∈ R / x ≤ 4}

A∩B = { x ∈ R / 1 <  x ≤ 4} ou ]1   4]

alternativa D