Question

(ITA-SP) Considere funções f, g, f + g: IR R. Das afirmações:
1. Sefeg são injetoras, f + g é injetora;
II. Sefeg são sobrejetoras, f + gé sobrejetora;
III. Sefeg não são injetoras, f + g não é injetora;
IV. Sefeg não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora,
é(são) verdadeira(s);
a) nenhuma
e) todas
c) apenas lelli
d) apenas Ille IV
b) apenas I e II

Answer 1

Resposta:

a) nenhuma

Explicação passo a passo:

Answer 2

Resposta:

a) nenhuma

Explicação passo a passo:

Vamos analisar alternativa por alternativa

I) FALSA.

Um contraexemplo: f(x)=x e g(x)=-x são injetoras, mas f(x)+g(x)=0 não é.

II) FALSA

Um contraexemplo: f(x)=x e g(x)=-x são sobrejetivas, mas f(x)+g(x)=0 não é.

III) FALSA

Precisamos encontrar um contraexemplo em que f+g seja injetiva mas f e g não sejam. Para isso, tome f e g tais que

$f(x)=x^{2}+x$

$g(x)=-x^{2}$

f e g não são injetivas (f(0)=f(-1), e g(y)=g(-y) para todo y real), mas (f+g)(x)=x, e portanto f+g é injetiva.

(o que eu fiz foi tomar uma função claramente injetiva (f+g=x) e depois decompô-la convenientemente em f e g. Um modo de fazer isso é usando funções quadráticas, que geralmente são sobrejetivas).

IV) FALSA

Precisamos encontrar um contraexemplo em que f+g seja sobrejetiva mas f e g não sejam. Para isso, tome f e g tais que

$f(x)=0$ para $x<0$ e $f(x)=x$ para $x\ge0$.

$g(x)=x$ para $x<0$ e $g(x)=0$ para $x\le 0$.

f e g não são sobrejetivas, mas (f+g)(x)=x, e portanto f+g é sobrejetiva.

(o que eu fiz foi tomar uma função claramente sobrejetiva (f+g=x) e depois decompô-la convenientemente em f e g - fica fácil de visualizar fazendo o gráfico de f e g).