Question

(ITA) Seja a ∈ [ -π/4 , π/4] um número real dado. A solução (X0, y0) do sistema de equações $\left \{ {{(sen a)x - (cos a) y = -Tg a} \atop {(cos a)x + (sen a) y = -1}} \right.$, é tal que:

RESPOSTA: x0 . y0 = 0

Answer 1

Primeiramente podemos multiplicar a primeira equação por $sen a$ e a segunda equação por $cos a$.

Somando as duas equações teremos:
$(sen^{2}a)x + (cos^{2}a)x = -sena.tga - cosa$
$x = \frac{-sen^2a}{cosa} - cosa$
$x = -\frac{sen^2a + cos^2a}{cosa}$
$x = \frac{-1}{cosa}$

Substituindo esse resultado na segunda equação do sistema teremos:
$-1 + (sena)y = -1$
$(sena)y = 0$

Com isso temos duas opções: $sena = 0$ e/ou $y = 0$

Se $sena = 0$ teremos $cosa = 1$ e $tga = 0$ e portanto na primeira equação:
$-y = 0 .... y = 0$

Com isso vemos que y = 0 é sempre solução desse sistema.
Portanto o produto $x_0.y_0$ será sempre nulo.