Question

(ITA) Se a, b e c são as raízes da equação
${x}^{3} - rx + 20 = 0$
onde r é um número real, podemos afirmar que o valor de
${a}^{3} + {b}^{3} + {c}^{3}$
é:

Gabarito: -60

#Calculo detalhado

Answer 1

Olá Emanueli.

Produto notável usado:

$\star~\boxed{\boxed{\mathsf{(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)}}}$

_________________

Resolução 1 -

Identidade usada:

Se a + b + c = 0 então a³ + b³ + c³ = 3abc

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Pelas relações de Girard, sabemos que:

ax³ + bx² +cx + d = 0

Onde a é diferente de 0 e x', x" e x"' são raizes desse polinômio, então vale as seguintes igualdades.

x' + x" + x"' = - b/a

x' . x" + x' . x"' + x" . x"' = c/a

x' . x" . x"' = - d/a

Usando a relação de Girard acima, temos:

a + b + c = 0/1

a + b + c = 0

e

abc = - 20/1

abc = - 20

Pela identidade citada no ínicio, temos:

a + b + c = 3abc

a + b + c = 3 . (- 20)

a + b + c = - 60

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Resolução 2 -

Pelas relações de Girard, sabemos que:

a + b + c = 0

Logo:

a + b = - c

Eleve ambos os lados ao cubo.

(a + b)³ = (- c)³

a³ + 3ab(a + b) + b³ = - c³

a³ + b³ + c³ = - 3ab(a + b)

Como vimos antes, a + b = - c.

a³ + b³ + c³ = - 3ab . (- c)

a³ + b³ + c³ = 3abc

Pelas relações de Girard, sabemos que abc = - 20, logo:

a³ + b³ + c³ = 3 . (- 20)

a³ + b³ + c³ = - 60

Dúvidas? comente.

Answer 2

Você vai fazer a soma, usando as relações de Girard, considerando as raízes como a,b e c:

$a + b + c = \frac{-b}{a} \\ \\ a + b + c = \frac{0)}{1} \\ \\ a + b + c = 0$

Vamos guardar isso e usar as outras relações para ver o que encontramos:

$a.b.c = \frac{-d}{a} \\ \\ a.b.c = \frac{-20}{1} \\ \\ a.b.c = 20$

$a.b + a.c + b.c = \frac{-c}{a} \\ \\ a.b + a.c + b.c = \frac{-(-r)}{1} \\ \\ a.b + a.c + b.c = r$

Agora você pega a primeira relação (soma) e eleva os dois termos ao cubo, para ver o que você encontra:

$a + b + c = 0 \\ (a + b + c)^3 = (0)^3 \\ (a + b + c)(a + b + c)(a + b + c) = 0 \\ (a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2)(a + b + c) = 0$

Agora a gente fatora, agrupa e ver o que dá pra usar, sendo que sabemos o produto das raízes, o produto 2 a 2 e a sua soma (vale 0), então vamos lá:

$(a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2)(a + b + c) = 0 \\ \\ (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)(a + b + c) = 0 \\ (a^2 + b^2 + c^2 + 2[ab + ac + bc])(a + b + c) = 0$

Se eu estivesse fazendo a prova do ITA, eu rasgaria o dedo para ver se achava alguma coisa, mas vou substituir aquele produto 2 a 2 que encontrei ali (que vale r, como eu encontrei ali em cima):

$(a^2 + b^2 + c^2 + 2[ab + ac + bc])(a + b + c) = 0 \\ (a^2 + b^2 + c^2 + 2r)(a + b + c) = 0 \\ \\ a^3 + a^2b + a^2c + ab^2 + b^3 + b^2c + ac^2 + bc^2 + c^3 + 2ar + 2br + 2rc = 0 \\ a^3 + b^3 + c^3 + 2r(a + b + c) + a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 = 0 \\ a^3 + b^3 + c^3 + 2r(0) + a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 = 0 \\ \\ a^3 + b^3 + c^3 = -(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2)$

Provavelmente o que está dentro do parênteses da 60, aí bate com o gabarito, mas eu não sei fatorar (acho que nem dá). Vou postar a resposta só pra ver se você encontra uma solução melhor, decide um caminho diferente ou encontra por si mesmo, porque eu não consegui :(