Question

(ITA) Sabe-se que a média harmônica entre o raio e a altura de um cilindro de revolução vale 4. Quanto valerá a razão entre o volume e a área total do cilindro?

Answer 1

V = πr²h
At = 2πr² + 2πrh

$\frac{2}{ \frac{1}{r}+ \frac{1}{h} } =4=\ \textgreater \ \frac{2}{ \frac{h+r}{rh} } =4=\ \textgreater \ \frac{2rh}{r+h}=4=\ \textgreater \ \frac{rh}{r+h}=2=\ \textgreater \ rh=2(h+r \\ \\ rh=2h+2r=\ \textgreater \ rh-2h=2r=\ \textgreater \ h(r-2)=2r=\ \textgreater \ h= \frac{2r}{r-2} \\ \\ V= \pi r^2. \frac{2r}{r-2} =\ \textgreater \ V= \frac{2 \pi r^3}{r-2} \\ \\ At= 2 \pi r^2+2 \pi r* \frac{2r}{r-2} = \frac{2 \pi r^2(r-2)+4 \pi r^2}{r-2} = \frac{2 \pi r^2(r-2+2)}{r-2} = \frac{2 \pi r^3}{r-2}$

Como V = At

Logo V/At = 1