Question

(Ita) No desenvolvimento de (ax ² - 2bx + c + 1)⁵
obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes
somam 32. Se 0 e -1 são raízes de p(x), então a
soma a + b + c é igual a
a) -1/2.
b) -1/4.
c) 1/2.
d) 1.
e) 3/2

Answer 1

(ax²-2bx+c+1)^5
farei a seguinte substituição para fins de facilitar os cálculos

ax²-2bx=m
c+1=n

(m+n)^5

por binômio de Newton, expandimos

===> (5 0)m^5.n^0 + (5 1)m⁴.n¹+ (5 2)m³.n²
+ (5 3)m²n³ + (5 4)m¹n⁴+ (5 5)m^0n^5
=m^5+5m⁴n+10m³n²+10m²n³+5m¹n⁴+n^5

p(x)=m^5+5m⁴n+10m³n²+10m²n³+5m¹n⁴+n^5
0 e -1 são raízes

voltando a substituição

p(x)=(ax²-2bx)^5+5(ax²-2bx)⁴(c+1)+10(ax²-2bx)³
(c+1)²+ 10(ax²-2bx)²(c+1)³+5(ax²-2bx)(c+1)⁴+(c+1)^5

p(0)=0

p(0)=0+5.0.(c+1)+10.0.(c+1)²+10(0)(c+1)³+5(0)(c+1)⁴+(c+1)^5
0=(c+1)^5

c+1=0
c=-1

p(-1)=0
tudo o que tiver c+1 irá zerar pois -1+1=0

p(-1)=(ax²-2bx)^5
0=(ax²-2bx)^5
ax²-2bx=0

x(ax-2b)=0
x=0
ou
x=2b/a

p(x)=(ax²-2bx)^5

este é o polinômio p(x).
suas raízes são 0,-1,2b/a e outras duas desconhecidas

p(-1)=0
p(0)=0
p(2b/a)=0

0=(a+2b)^5
a+2b=0
a=-2b
-a/b=2

chegamos que pelas relações de Girard, a soma é 2

a+b+c=2-1=1

$\boxed{ \boxed{ \boxed{ \mathsf{a + b + c = 1}}}} \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \mathsf{alternativa \: (d).}}}}$