Question

(ITA) Na figura, presa a um fio de comprimento 1,0 m de uma massa 1,0 kg de gira com uma certa velocidade angular num plano vertical sob a ação da gravidade, com eixo de rotação a h=6,0 m do piso. Determine a velocidade angular mínima dessa massa para a ruptura do fio que suporta no máximo a tração 46 N de bem como a distância ao ponto P do ponto em que, nesse caso, a massa tocará o solo.

Answer 1

Olá, tudo certo?

Resolução:

Força centrípeta

                               $\boxed{Fcp=m.\omega^2.R}$

Onde:

Fcp=Força centrípeta ⇒ [N]

m=massa ⇒ [kg]

ω=velocidade angular ⇒ [rad/s]

R=raio ⇒ [m]

Dados:

T=46 N

R=L=1,0 m

m=1,0 kg

h=6 m

ω=?

d=?

A velocidade angular mínima da massa para que o fio rompa:

• Na situação em que o fio romper será no ponto mais baixo da trajetória

                                 $Fcp=T-P\\\\\\T-P=Fcp\\\\\\T-m.g=m.\omega^2.L$

Isolando ⇒ (ω),

                                  $\omega^2=\dfrac{T-(m.g)}{m.L}$

Tira raiz dos dois lados,

                                 $\omega=\sqrt{\dfrac{T-(m.g)}{m.R} }$

Substituindo os dados,

                                  $\omega=\sqrt{\dfrac{46-(1_X10)}{1_X1} }\\\\\\\omega=\sqrt{\dfrac{36}{1} }\\\\\\\omega=\sqrt{36}\\\\\\\boxed{{\omega=6\ rad/s}}$

_____________________________________________________

Na segunda pergunta a questão quer saber a distância do ponto P que a massa vai tocar o solo apos o rompimento do fio

Para o cálculo do tempo de queda,

                                 $h=\dfrac{g.t^2}{2} \to t=\sqrt{\dfrac{2.(h-L)}{g}}$   (II)

Para o cálculo da velocidade tangencial no momento que o fio rompe:

                                  $Fcp=\dfrac{m.V^2}{L}\\\\\\ T-m.g=\dfrac{m.V^2}{L}\\\\\\T-g=\dfrac{V^2}{L}\\\\\\V=\sqrt{(T-g).L}$ (lll)

__________________________________________________

                                  $V=\dfrac{d}{t}\\\\\\d=V.t$

Substituindo (II) e (lll) em (l), fica,

                                 $d=(\sqrt{(T-g).L})_X\bigg(\sqrt{\dfrac{2.(h.L)}{g} }\bigg)\\\\\\d=(\sqrt{(46-10)_X1})_X\bigg(\sqrt{\dfrac{2_X(6-1)}{10}}\bigg)\\\\\\d=(\sqrt{36})_X (\sqrt{1})\\\\\\\boxed{\boxed{d=6\ m}}$

Bons estudos! =)