Question

(ITA) (ITA) Seja a um número real com 0 < a < 1 . Calcule os valores de x para os quais

$(a^{2x}) - [(a + a^2) a^x] + (a^3) \ \textless \ 0$

Resposta: 2 > x > 1 ou 1 < x < 2

Alguém pode ajudar?

Answer 1

Seja a^x = y
y² -(a+a²)y + a³ < 0
Raízes
y² - (a+a²)y + a³ = 0
Δ =[-(a-a²)² - 4a³ = a² + 2a³ + a^4 - 4a³ = a^4 - 2a³ + a²
Δ = (a² - a)²
y = [(a + a²) - (a² - a]/2 = (a + a² - a² + a )/2 = 2a/2 = a
ou y = (a + a² +a² - a)/2 = 2a²/2 = a²
Como 0 < a < 1 => a² < a
           +           -                 +
-------------a²...............a------------
a² < y < a

a² < a^x < a => 2 
Como 0 < a < 1, para comparar os expoentes, devemos inverter o sentido da desigualdade.
2 > x > 1 => 1 < x < 2