Question

(ITA) Encontre todos os valores de a ∈ ]-π/2 , π/2[ para os quais a equação na variável real x:
arctan $(\sqrt{2} - 1 + \frac{e^{x}}{2} ) + arctan (\sqrt{2} - 1-\frac{e^{x}}{2}) = a$ admite solução.

Answer 1

Seja:

α = $arctan (\sqrt{2} -1+\frac{e^{x}}{2} )$

β =$arctg (\sqrt{2} -1-\frac{e^{x}}{2} )$

$tg (\alpha + \beta ) = \frac{tg\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha*tg\beta} = tga$ ⇒ $\frac{2(\sqrt{2}-1)}{1-(3-2\sqrt{2} - \frac{e^{2x}}{4})} = tg a$ ⇒ $\frac{2(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2-1)+\frac{e^{2x}}{4}}} = tg\alpha$ ⇒ $2(\sqrt{2} -1) = 2tg\alpha (\sqrt{2}-1)+\frac{e^{2x}}{4} * tga$ ⇒ $2(\sqrt{2}-1) [1-tga] = \frac{e^{2x}}{4} tga$ ⇒ $e^{2x} = \frac{8(\sqrt{2}-1)[1-tga]}{tga}$

Veja que para haver solução, basta que:

$\frac{1-tga}{tga} > 0$ ⇒ $ctg a > 1$ . No intervalo considerado, $a$ ∈ $(0,\frac{\pi}{4} )$

Espero ter ajudado.