Question

(ITA) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3cm e que sua área lateral é o dobro da áreade sua base. O volume deste prisma, em cm3, é:

$a) 27\sqrt{3} .... b) 13\sqrt{2} ......... c) 12 .... d) 54\sqrt{3} ..... e) 17\sqrt{5}$[/tex]

Answer 1

Resposta: V = 54raiz de(3) cm³

Explicação passo-a-passo:

— O lado do hexágono-base do prisma é x cm

— A altura do prisma vale 3 cm

O prisma é hexagonal regular, logo sua base é um hexágono regular. A área lateral Al do prisma é a área de seis retângulos de base x e altura 3 cm, ou seja, Al = 6(3x) = 18x. A área da base Ab (hexágono regular) é a área de seis triângulos equiláteros de lado x, ou seja, Ab = 6[x²raiz de(3)/4] = 3x²raiz de(3)/2. Também nos foi informado que a área lateral Al é o dobro do valor da área da base Ab. Logo:

Al = 2Ab =>

18x = 2[3x²raiz de(3)/2] =>

18x = 3x²raiz de(3) e 3x > 0 =>

6 = xraiz de(3) =>

36 = 3x² =>

108 = 9x² (i)

O volume de qualquer prisma é dado pelo produto da área de sua base pela medida da altura. Com isso, o volume V do nosso prisma hexagonal regular é dado por:

V = 3[3x²raiz de(3)/2] =>

2V = (9x²)raiz de(3) e de (i) =>

2V = 108raiz de(3) =>

V = 54raiz de(3)

O volume V é 54raiz de(3) cm³.

Abraços!