Question

ITA

Considere o cubo A B C D E F G H de aresta 2 tal que: A B CD é o quadrado da base
inferior; E F G H , o quadrado da base superior e AE, B F , CG e D H são as arestas verticais. Sejam
L, M e V os pontos médios das arestas AB, CG e GH, respectivamente. Determine a área do
triângulo LM N .

Resolução passo a passo com imagem se possível!

Answer 1

$Analisando \ as \ informa\c{c}\tilde{o}es \ da \ quest\tilde{a}o \ eu \ montei \ a \ figura \\ relativa \ a \ esse \ cubo \ . \\ \\ ( \ OLHAR \ ANEXO \ 1 \ ) \\ \\ Considerando \ que \ o \ cubo \ tem \ aresta \ 2 \ cm \ , \ irei \ encontrar \\ as \ medidas \ dos \ lados \ desse \ tri\hat{a}ngulo$

$Para \ calcular \ vou \ desmembrar \ a \ representa\c{c}\tilde{a}o \ dos \ lados \ desse \\ tri\hat{a}ngulo \ no \ cubo \ e \ irei \ representar \ somente \ a \ parte \ desejada \\ para \ o \ c\acute{a}lculo \ . \\ \\ Lembrando \ que \ num \ cubo \ temos \ as \ arestas \ adjacentes \\ perpendiculares \ . \\ \\ Come\c{c}ando \ por \ \overline{LV} \ ,$

$( \ OLHAR \ ANEXO \ 2 \ ) \\ \\ \rightarrow \ Considere \ que \ X \ seja \ o \ ponto \ m\acute{e}dio \ de \ \overline{CD} \\ \rightarrow \overline{LX} \ \acute{e} \ um \ segmento \ paralelo \ \grave{a} \ \overline{AD} \ e \ \overline{BC} \ e \ est\tilde{a}o \ contidos \\ no \ mesmo \ plano \ determinado \ pelos \ segmentos \ \overline{AB} \ e \ \overline{CD} \ , \ logo \ : \\ \\ \overline{AD} \ = \ \overline{BC} \ = \ 2 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \overline{LX} \ = \ 2$

$\rightarrow \ O \ mesmo \ racioc\acute{i}nio \ pode \ ser \ estendido \ ao \ segmento \ \overline{XV} \ . \\ Logo\ podemos \ afirmar \ que \ \overline{XV} \ = \ 2 \ . \\ \rightarrow \ Aplicando \ o \ Teorema \ de \ Pit\acute{a}goras \\ no \ tri\hat{a}ngulo \ LXV \ : \\ \\ \overline{LV}^2 \ = \ \overline{XV}^2 \ + \ \overline{LX}^2 \\ \overline{LV}^2 \ = \ ( 2 ) ^2 \ + \ (2)^2 \\ \overline{LV} \ = \ 2\sqrt{2} \ \ \ u.m. \ ( \ unidade \ de \ medida )$

$Agora \ para \ o \ lado \ \overline{MV} \ , \\ \\ ( \ OLHAR \ ANEXO \ 3 ) \\ \\ \rightarrow \ De \ acordo \ com \ o \ enunciado \ temos \ que \ M \ e \ V \ s\tilde{a}o \\ pontos \ m\acute{e}dios \ dos \ segmentos \ \overline{CG} \ e \ \overline{GH} \ . \ Com \ essa \\ informa\c{c}\tilde{a}o \ temos \ que \ \overline{MG} \ e \ \overline{VG} \ medem \ 1 \ u.m. \ . \\ \rightarrow \ Aplicando \ Pit\acute{a}goras \ no \ tri\hat{a}ngulo \ MGV \ : \\ \\ \overline{MV}^2 \ = \ \overline{MG}^2 \ + \ \overline{VG}^2$

$\overline{MV}^2 \ = \ 1^2 \ + \ 1^2 \\ \overline{MV} \ = \sqrt{2} \ \ u.m.$

$Para \ o \ lado \ \overline{ML} \ , \\ \\ ( \ OLHAR \ ANEXO \ 4 \ ) \\ \\ \rightarrow \ Como \ explicado \ anteriormente \ M \ e \ L \ s\tilde{a}o \ pontos \\ m\acute{e}dios \ . \ Logo \ \overline{CM} \ = \ \overline{LB} \ = \ 1 \\ \rightarrow \ Atente-se \ ao \ tri\hat{a}ngulo \ LBC \ , \ irei \ aplicar \ Pit\acute{a}goras \\ nele \ para \ descobrir \ a \ medida \ de \ \overline{LC} \ . \ Lembre-se \ de \ que \\ \overline{BC} \ = \ 2 \ por \ esse \ lado \ ser \ uma \ das \ arestas \ do \ cubo \ .$

$\overline{LC}^2 \ = \ \overline{BC}^2 \ + \ \overline{LB}^2 \\ \overline{LC}^2 \ = \ 2^2 \ + \ 1^2 \\ \overline{LC} \ = \ \sqrt{5} \ \ u.m. \\ \\ \rightarrow \ Agora \ aplicando \ Pit\acute{a}goras \ ao \ tri\hat{a}ngulo \ LCM \ : \\ \\ \overline{LM}^2 \ = \ \overline{MC}^2 \ + \ \overline{LC}^2 \\ \overline{LM}^2 \ = \ 1^2 \ + \ ( \ \sqrt{5} \ )^2 \\ \overline{LM} \ = \ \sqrt{6} \ \ u.m.$
$Agora \ retorne \ ao \ ANEXO \ 1 \ . \\ \\ \rightarrow Como \ descobrimos \ os \ lados \ do \ tri\hat{a}ngulo \ uma \ alternativa \\ para \ o \ c\acute{a}lculo \ da \ \acute{a}rea \ pode \ atrav\acute{e}s \ da \ F\acute{o}rmula \ de \ Heron \ : \\ \\ S \ = \ \sqrt{ \ p \ . \ ( \ p - a \ ) \ . \ ( \ p - b \ ) \ . \ ( \ p - c \ )} \\ \\ Onde \ p \ \acute{e} \ o \ semi-per\acute{i}metro \ ; \ a \ , b \ e \ c \ s\tilde{a}o \ os \ lados \ desse \\ tri\hat{a}ngulo.$
$Por\acute{e}m , \ eu \ gostaria \ de \ chamar \ a \ aten\c{c}\tilde{a}o \ para \ o \ fato \ de \ que \\ o \ tri\hat{a}ngulo \ LMV \ cujos \ lados \ medem \ \sqrt{2} \ , \ \sqrt{6} \ e \ 2\sqrt{2} \\ representarem \ um \ tri\hat{a}ngulo \ pitag\acute{o}rico \ cuja \ hipotenusa \\ mede \ 2\sqrt{2} \ . \ Logo \ , \ para \ o \ c\acute{a}lculo \ da \ \acute{a}rea \ :$
$S \ = \ \frac{b.h}{2} \\ \\ Lembrando \ que \ num \ tri\hat{a}ngulo \ ret\hat{a}ngulo \ os \ catetos \\ funcionam \ como \ base \ e \ altura \ . \\ \\ S \ = \ \frac{ \sqrt{2} \ . \ \sqrt{6} }{2} \\ S \ = \ \sqrt{3} \ \ \ \ ( \ u.m. \ )^2$

Answer 2

Resposta:

thanks for the very good answer