Question

(ITA) Considere as funções reais f e g definidas por:

f(x) = (1+2x) / (1-x²) x ∈ R - {-1,1} e
g(x) = x / (1+2x) x ∈ R - {-1/2}.

O maior subconjunto de R onde pode ser definida a composta fog, tal que (fog)(x)<0, é:

a) ]-1, 1/2[ ∪ ]-1/3, -1/4[
b) ]-∞, -1[ ∪ ]-1/3, -1/4[
c) ]-∞, -1[ ∪ ]-1/2, 1[
d) ]1, ∞[
e) ]-1/2, -1/3[

Answer 1

$\mathsf{f_{(x)} \ = \ \dfrac{1 \ + \ 2 \ \cdot \ x}{\underbrace{\mathsf{(1 \ + \ x) \ \cdot\ (1 \ - \ x)}}_{produto \ not\'avel}}}$

$\mathsf{g_{(x)} \ = \ \dfrac{x}{(1 \ + \ 2 \ \cdot \ x)}}$

$\mathsf{f \ \circ \ g \ = \ \dfrac{1 \ + \ 2 \ \cdot \ \big(\frac{x}{1 \ + \ 2 \ \cdot \ x}\big)}{(1 \ + \ \frac{x}{1 \ + \ 2 \ \cdot \ x}) \ \cdot \ (1 \ - \ \frac{x}{1 \ + \ 2 \ \cdot \ x})} \ \rightarrow}$

$\mathsf{f \ \circ \ g \ = \ \dfrac{\frac{1 \ + \ 4 \ \cdot \ x}{1 \ + \ 2 \ \cdot \ x}}{\big(\frac{1 \ + \ 3 \ \cdot \ x}{1 \ + \ 2 \ \cdot \ x}\big) \ \cdot \ \big(\frac{1 \ + \ x}{1 \ + \ 2 \ \cdot \ x}\big)} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{f \ \circ \ g \ = \ \dfrac{(1 \ + \ 4 \ \cdot \ x) \ \cdot \ (1 \ + \ 2 \ \cdot \ x)}{(1 \ + \ 3 \ \cdot \ x) \ \cdot \ (1 \ + \ x)}}}$

Fazendo a análise pelo "varal":

$\mathsf{\bullet \ 1 \ + \ 4 \ \cdot \ x \ = \ 0 \ \therefore \ x \ = \ \dfrac{-1}{4}} \\ \\ \mathsf{-------------- \ \overbrace{\bullet }^{\frac{-1}{4}} \ ++++++++++++++}$

$\mathsf{\bullet \ 1 \ + \ 2 \ \cdot \ x \ = \ 0 \ \therefore \ x \ = \ \dfrac{-1}{2}} \\ \\ \mathsf{-------------- \ \overbrace{\bullet }^{\frac{-1}{2}} \ ++++++++++++++}$

$\mathsf{\bullet \ 1 \ + \ 3 \ \cdot \ x \ = \ 0 \ \therefore \ x \ = \ \dfrac{-1}{3}} \\ \\ \mathsf{-------------- \ \overbrace{\circ}^{\frac{-1}{3}} \ ++++++++++++++}$

$\mathsf{\bullet \ 1 \ + \ x \ \cdot \ x \ = \ 0 \ \therefore \ x \ = \ -1} \\ \\ \mathsf{-------------- \ \overbrace{\circ}^{-1} \ ++++++++++++++}$

Juntando todos os intervalos, para que $\mathsf{f \ \circ \ g \ \ \textless \ \ 0}$, teremos a união de dois intervalos abertos:

$\mathsf{\bigg]\dfrac{-1}{3}, \ \dfrac{-1}{4}\bigg[}$ (um intervalo positivo e os outros três negativos, sem passar por $\mathsf{\dfrac{-1}{3}}$ para não zerar o denominador);

$\mathsf{\bigg]-1, \ \dfrac{-1}{2}\bigg[}$ (três intervalos positivos e um negativo, sem chegar em $\mathsf{-1}$ para não zerar o denominador).

Logo, $\boxed{\boxed{\mathsf{\bigg]-1, \ \dfrac{-1}{2}\bigg[ \ \cup \ \bigg]\dfrac{-1}{3}, \ \dfrac{-1}{4}\bigg[}}}$