Question

(ITA) Análise as afirmações classificando-as em verdadeiras ou falsas:
I. ao número de maneiras que podemos distribuir 5 prêmios iguais a 7 pessoas de modo que cada pessoa premiada receba no máximo 1 prêmio é 21.
II. O número de maneiras que podemos distribuir 5 prêmios iguais a 7 pessoas de modo que 4 e apenas 4 sejam premiadas é 140.
III. Para todo natural n,n >_5, (n)=(n )
(5) (n-5)
resposta:todas são verdadeiras

Answer 1

Olá.

Questão muito boa.

I) Percebemos, primeiramente que é um problema de contagem.
Depois de perceber isso, você precisa pensar na melhor forma de resolver o problema, porque o cerne da combinatória é isso.
Eu tenho 5 prêmios e preciso dividir ele para 7 pessoas.
Você pode pensar dessa forma, eu tenho 7 pessoas que precisam ganhar 5 a 5 prêmios. Ou seja, cada grupo que você vai formar, vai ganhar apenas 1 prêmio.
Agora é importante descobrir o critério do problema, se ele necessita que a ordem seja levada a sério ou não.
Pensa comigo, se eu escolher um prêmio( desde que consideremos que esse prêmio seja igual) vai fazer diferença o joão ter o prêmio do carlos? Não, pois a ordem com que eu vou permutar os prêmio não importa.
Então é combinação.

$C_{7,5} = \frac{7.6.5!}{5!.2!} \\ C_{7,5} = 21$
VERDADEIRA.

II) Esse vai precisar de uma abstração legal.

Eu tenho 7 decisões a tomar, que são 7 pessoas e preciso dividir esses 5 prêmios.

_._._._._._._ ( Se eu escolher aquelas 4 pessoas e dividir 4 prêmios vai faltar 1 prêmio e vou formar um grupo, certo?)
_._._._._._._ ( Agora você começa a perceber um padrão, sempre que eu escolher 4 pessoas vai faltar 1 prêmio)

Tendo em base isso, você pode ver quantos grupos de 7 pessoas tomadas 4 a 4 podemos formar e depois subtrair os prêmios que não foram sendo englobados que vai ser igual ao número de grupos.

Vamos agora saber de quantos modos esses prêmios podem ser combinados com os 4 alunos que já marcamos.
Combinação de 5 prêmios tomadas 4 a 4.

$C_{7,4} . C_{5,4}. - C_{7,4} \\ 35.5 - 35 = 140$
VERDADEIRA.

C)
Ou seja, n ≥ 5 é verdadeira.
$\frac{n}{5} = \frac{n}{n-5} \\ n(n-5) = 5n \\ n-5 = 5 \\ n = 10$

Verdadeira.