Question

ITA-Adaptada) Uma esfera de aço é lançada de um ponto P de uma rampa inclinada de α em relação a horizontal, com velocidade inicial v0, que forma um ângulo θ com a horizontal. Calcule a distância do ponto P ao ponto Q, onde a bolinha colide com a rampa. Despreze influências do ar e considere g = 10m/s^2 , v = 12m/s , α = 30º e θ = 60º.

Answer 1

Primeiramente para resolver a questão, deve-se considerar um eixo cartesiano no ponto de lançamento. Perceba que as componentes horizontal e vertical da velocidade possuem módulos respectivamente iguais a $v_{0}$ $cos$θ e $v_{0}$ $sen$ θ. Com isso, as equações horárias são:

  $x = v_{0}$ $* cos$θ$*t$ e $y = v_{0} *sen$θ$*t - \frac{g t^{2} }{2}$

 Denotando a distância PQ de d (como o comprimento da rampa), e denotando um triângulo $P X_{0} Q$. Temos que a partir dele e considerando α = 30º, a altura do mesmo será igual a $y_{0} = \frac{d}{2}$ e o alcance horizontal será $x_{0} = \frac{d \sqrt{3} }{2}$

Agora basta realizar as substituições nas equações horárias:
$x = v_{0} * cos$θ$*t = \frac{d \sqrt{3} }{2} =12*cos60$º$*t$   ⇒ $t = \frac{d \sqrt{3} }{12}$

$y = v_{0} * sen$θ$*t - \frac{gt^{2} }{2}$ ⇒ $\frac{d}{2} = 12*sen60$º$*t - \frac{10* t^{2} }{2}$ ⇒ $\frac{d}{2} = 12* \frac{ \sqrt{3} }{2} * \frac{d \sqrt{3} }{12} - \frac{10}{2} * (\frac{d \sqrt{3} }{12})^{2}$

$d = 3d - \frac{10d^{2} }{48}$ ⇒ $10d = 96$ ⇒ $d = 9,6m.$




Comentário: Embora eu tenha resolvido a questão dessa forma, existe uma outra forma de resolver o problema (e que na realidade, em alguns casos pode ser bem mais rápida) que é usar o par de eixos coincidindo com o plano inclinado. Já que nesse caso, a gravidade não coincidiria com um eixo e, por esse motivo, precisaria ser descomposta. Daí teríamos MUV nos dois eixos. Para não estender demais a questão, vou tentar resumir a mudança, que é basicamente a seguinte: em vez de usarmos equações MRU na horizontal, deveríamos usar equações de MUV. Todo o raciocínio permaneceria análogo. 

Espero ter ajudado!