Question

(ITA-Adaptada) Se z = (cosA+ isenA)^4 é um número real negativo, então é possível que:
(A) cosA + sen A = 0
(B) cosA + 2senA = 0
(C) 2cosA + senA = 0
(D) cosA +4senA = 0
(E) 4cosA + senA = 0
Gabarito diz ser letra A.

Answer 1

Inicialmente veja que $(cosA+isenA)^{2}=(cosA+isenA)(cosA+isenA)=cos^{2}A+2cosAisenA+i^{2}sen^{2}A$

Daí, como $i^{2}=-1$ substituindo na expressão obtemos:

$cos^{2}+2cosA*isenA-sen^{2}A$

Mas veja que $z=(cosA+isenA)^{4}=(cos^{2}+2cosA*isenA-sen^{2}A)^{2}$, logo temos que $z=cos^{4}A+sen^{4}A (2cosA*senA)^{2}+4cosA*isenA(cosA+senA)(cosA-senA)$

Agora note que o enunciado nos diz que z é real, logo $Im(z)=0$ e isso implica que $4cosA*isenA(cosA+senA)(cosA-senA)=0$

Por fim, temos pelo teorema do produto igual a 0 que ou $cosA+senA=0$ ou $cosA-senA=0$. Logo a única alternativa possível é a letra A.

Comentário final: Perceba que no fim da resolução eu não citei como possibilidade $4cosA*isenA=0$, veja que isso se deve ao fato de que caso eu o fizesse teríamos que $senA=0$ ou $cosA=0$ e isso impediria a expressão de ser negativa.

Resposta: Letra A.

Espero ter ajudado. Caso tenha dúvidas quanto a resolução pergunte.