Question

(ITA) A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral an é dado por $a_n=\dfrac{cos~n+i\cdot{sen}~n}{2^n},~~n=1,2,3,...$ é igual a
(gabarito A)

Answer 1

Resposta:

A)

Explicação passo-a-passo:

Primeiro recorde a fórmula de De Moivre:

(cos θ + i sen θ)ⁿ = cos(nθ) + i sen(nθ)

Assim, para facilitar a "ver" vamos substituir:

z = cos 1 + i sen 1

Isso quer dizer que

a₁ = (z/2)¹

a₂ = (z/2)²

...

aₙ = (z/2)ⁿ

Ou seja, a sequência é uma PG (isso não é surpresa já que ele falou que era uma PG) com razão z/2 e termo inicial z/2

A soma dos termos de uma PG é dada por

$S = \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = a_2 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots = \dfrac{a_1}{1-q}$

Onde q é a razão. Ou seja, a soma dos termos dessa PG é:

$S = \dfrac{\dfrac z2}{1- \dfrac z2} = \dfrac{z}{2-z}$

Como queremos só a parte real temos

$S = \dfrac{z}{2-z} = \dfrac{2z - z\overline z}{(2-z)(2-\overline z)} = \dfrac{2z - |z|^2}{4 - 2(z + \overline z) + |z|^2}$

Usando que z = cos 1 + i sen 1 temos |z| = 1 . Logo:

$S = \dfrac{2\cos 1 - 1 + i \sin 1}{5 -4\cos 1}$

Assim, a parte real de S é

$\boxed{\Re (S)= \dfrac{2\cos 1 - 1 }{5 -4\cos 1}}$