Question

(Ita) A área do polígono, situado no primeiro
quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados
e pelo conjunto
{(x, y) Æ IR£: 3x£ + 2y£ + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual
a:
a) Ë6
b) 5/2
c) 2Ë2
d) 3
e) 10/3

Answer 1

A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto {(x,y) ∈ IR²: 3x² + 2y² + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0} é igual a 5/2.

Primeiramente, vamos "arrumar" a equação dada no conjunto. Para isso, observe que podemos reescrever a equação da seguinte maneira:

3x² + 3xy + 2y² + 2xy - 9x - 8y + 6 = 0

Veja que em 3x² + 3xy e 2y² + 2xy podemos colocar 3x e 2y, respectivamente, em evidência:

3x(x + y) + 2y(x + y) - 9x - 8y + 6 = 0

ou seja,

(3x + 2y)(x + y) - 9x - 8y + 6 = 0

(3x + 2y)(x + y) - 3x - 6x - 2y - 6y + 6 = 0

(3x + 2y)(x + y) - (3x + 2y) - 6x - 6y + 6 = 0

(3x + 2y)(x + y - 1) - 6(x + y - 1) = 0

(3x + 2y - 6)(x + y - 1) = 0

Chegamos a uma multiplicação de equações.

Perceba que as equações 3x + 2y - 6 = 0 e x + y - 1 = 0 representam duas retas.

Então, vamos calcular as interseções entre as retas e os eixos coordenados.

Reta 3x + 2y - 6 = 0 :

Se x = 0, então y = 3 -> ponto (0,3).

Se y = 0, então x = 2 -> ponto (2,0).

Reta x + y - 1 = 0 :

Se x = 0, então y = 1 -> ponto (0,1).

Se y = 0, então x = 1 -> ponto (1,0).

A área do polígono citado está representada na figura abaixo, já que o polígono está situado no primeiro quadrante.

Perceba que tal área é igual à área do triângulo AED menos a área do triângulo EBC.

Sabendo que a área do triângulo é igual à metade do produto da base pela altura, temos que:

$A=\frac{3.2}{2} - \frac{1.1}{2}$

$A=3-\frac{1}{2}$

$A=\frac{5}{2}$.

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