Question

(ITA) A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A(2, 1) e B(3, -2). Sabendo que o terceiro vértice se encontra sobre os eixos das abscissas, pode-se afirmar que suas coordenadas são:

Answer 1

$A_{(\triangle)} \ = \ \frac{|\det|}{2} \ \rightarrow \\ \\ \rightarrow \ A_{(\triangle)} \ = \ \'Area \ de \ um \ tri\^angulo; \\ \\ \rightarrow \ |\det| = \ M\'odulo \ do \ determinante \ da \ matriz \ de \ seus \ v\'ertices.$

$Sendo \ A_{(\triangle)} \ = \ 4 \ |u|^2 \ : \\ \\ 4 \ = \ \frac{|\det|}{2} \ \rightarrow \\ \\ |\det| \ = \ 4 \ \cdot \ 2 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{|\det| \ = \ 8} \ \Rightarrow \ M\'odulo \ do \ determinante \ da \ dita \ matriz!$

$Agora, \ montaremos \ a \ matriz \ de \ suas \ coordenadas. \\ \\ Estas \ s\~ao \ A_{(2,1)}, \ B_{(3,-2)} \ e \ C_{(x,0)} \ \Rightarrow \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}\overbrace{2}^{x}&\overbrace{1}^{y}&\overbrace{1}^{nula}\\3&-2&1\\x&0&1\end{array}\right]$

$Determinante \ \Rightarrow \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\3&-2&1\\x&0&1\end{array}\right] \ \rightarrow \ \left[\begin{array}{cc}2&1\\3&-2\\x&0\end{array}\right] \ : \\ \\ \\ \det \ = \ (2 \ \cdot \ -2 \ \cdot \ 1 \ + \ 1 \ \cdot \ 1 \ \cdot \ x \ + \ 1 \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 0) \\ - \ (x \ \cdot \ -2 \ \cdot \ 1 \ + \ 0 \ \cdot \ 1 \ \cdot \ 2 \ + \ 1 \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 1) \ = \\ \\ \det \ = \ (-4 \ + \ x) \ - \ (-2 \ \cdot \ x \ + \ 3) \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\det \ = \ -7 \ + \ 3 \ \cdot \ x}$

$Agora, \ vamos \ usar \ o \ m\'odulo... \ temos \ duas \ possibilidades \ : \\ \\ \longrightarrow \ \det \ = \ 8 \ : \\ \\ 8 \ = \ -7 \ + \ 3 \ \cdot \ x \ \rightarrow \\ \\ \frac{8 \ + \ 7}{3} \ = \ x \ \rightarrow \\ \\ x \ = \ \frac{15}{3} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{x \ = \ 5} \\ \\ \longrightarrow \ \det \ = \- 8 \ : \\ \\ -8 \ = \ -7 \ + \ 3 \ \cdot \ x \ \rightarrow \\ \\ \frac{-8 \ + \ 7}{3} \ = \ x \ \rightarrow \\ \\ \boxed{x \ = \ \frac{-1}{3}}$

$E \ lembrando \ de \ que \ C \ est\'a \ nas \ abscisas! \ (y \ = \ 0).$

$\bold{Logo, \ alternativa \ 'c)' \ !}$