Question

ITA-87 Seja S a coleção de todos os números complexos z, que são raízes da equação |z| - z = 1 + 2i, onde i é a unidade imaginária. Então podemos garantir que:
gabarito: S = {3/2 - 2i}

Answer 1

Seja $\mathsf{z \ \in \ \mathbb{C}}$. Na forma algébrica, $\mathsf{z \ = \ a \ + \ b \ \cdot \ i.}$

O módulo deste número complexo é a distância à origem do plano de Argand-Gauss: $\mathsf{|z| \ = \ \sqrt{a^2 \ + \ b^2}}$

$\mathsf{|z| \ - \ z \ = \ 1 \ + \ 2 \ \cdot \ i \ \rightarrow} \\ \\\ \\ \mathsf{\sqrt{a^2 \ + \ b^2} \ - \ a \ - \ b \ \cdot \ i \ = \ 1 \ + \ 2 \ \cdot \ i \ \rightarrow}$

Igualaremos as partes puramente imaginárias e as puramente reais:

$\mathsf{- b \ \cdot \ i \ = \ 2 \ \cdot \ i \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{b \ = \ - 2}}$

$\mathsf{\sqrt{a^2 \ + \ \underbrace{\mathsf{4}}_{b^2}} - \ a \ = \ 1 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\sqrt{a^2 \ + \ 4} \ = \ 1 \ + \ a \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{a^2 \ + \ 4 \ = \ (1 \ + \ a)^2 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{a^2 \ + \ 4 \ = \ 1 \ + \ 2 \ \cdot \ a \ + \ a^2 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{3 \ = \ 2 \ \cdot \ a \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{a \ = \ \dfrac{3}{2}}}$

Logo, $\mathsf{z \ = \ \dfrac{3}{2} \ - \ 2 \ \cdot \ i}$