Question

(ITA-2017) Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um hexágono regular, conforme a figura abaixo.

O comprimento de uma correia tensionada que envolve externamente as seis circunferências mede em cm:

a)18+3π
b)30+10π
c) 18+6π
d) 60+10π
e) 36+6π

Answer 1

A correia é a soma de seis segmentos congruentes igual a 2r=2.5=10 e por seis arcos de raio igual a 5 cm e seu ângulo central é 360º-90º-90º-90º=60º, assim o comprimento é:

$6.10+6. \frac{60}{360}.2 \pi .5= (60+10 \pi ) cm$

letra D

Answer 2

O comprimento da correia tensionada é de 60 + 10π.

Em cada um dos vértices do hexágono, imagine duas linhas perpendiculares as arestas deste vértice em direção a correia, sabe-se que o ângulo entre essas linhas e suas respectivas arestas mede 90° e que o ângulo interno do hexágono mede 120°, logo, o ângulo entre as duas linhas perpendiculares é 360° - 120° - 90° - 90° = 60°.

Se os vértices do hexágono são os centros de cada círculo, a medida de cada lado é duas vezes o raio do círculo, ou seja, 10 cm, como são seis lados, temos que as partes da correia (paralelas aos lados do hexágono) medem 60 cm ao todo. As partes que tangenciam os círculos são os arcos de 60°:

l = π.5.60°/180°

l = 5π/3 cm

Ao todo são 6 arcos, logo, o comprimento total é:

C = 60 + 5π/3 . 6

C = 60 + 10π cm

Resposta: D

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