Question

(ITA-2012) Sejam z = $n^{2}$(cos 45º + i sen 45º) e w = n(cos 15º + i sen 15º), em que n é o menor inteiro positivo tal que $(1+i)^{n}$ é real. Então Z÷W é?

A( ) √3 + i

B( ) 2(√3+i)

C( ) 2(√2+i)

D( ) 2(√2-Ii)

E( ) 2(√3-i)

Answer 1

Resposta:

Por tentativa ==>

n=1 ==>1+i

n=2 ==>(1+i)²=2i

n=3 ==>2i*(1+i) =2i-2

n=4 ==>(2i)² =-4  é Real  ==> n=4

(4²)*(cos(45)+i*sen(45))/[4*(cos(15)+i*sen(15)]

cos(45)=sen(45) =√2/2

cos(15)=cos(45-30) =cos45*cos30+sen45*sen30=√2/2 *√3/2 +√2/2 *1/2

cos(15)=(√2/4) *(√3+1)

sen(15)=sen(45-30)=sen45*cos30 - sen30*cos45=(√2/2)*(√3/2)-(1/2 *√2/2)

sen(15)=(√2/4)  *(√3-1)

Z/w = 4 * [√2/2 +i√2/2] / [(√2/4)*(√3+1) +i(√2/4)  *(√3-1)]

Z/w = 8 * [√2 +i√2] / [(√2)*(√3+1) +i(√2)  *(√3-1)]

Z/w = 8 * [1 +i] / [(√3+1) +i*(√3-1)]

Z/w = 8 * [1 +i]*[(√3+1) -i*(√3-1)]/ [(√3+1) +i*(√3-1)]*[(√3+1) -i*(√3-1)]

Z/w = 8 * [1 +i]*[(√3+1) -i*(√3-1)]/[(√3+1)² -i²*(√3-1)²]

Z/w = 8 * [1 +i]*[(√3+1) -i*(√3-1)]/[8]

Z/w = [1 +i]*[(√3+1) -i*(√3-1)]

Z/w =(√3+1) -i*(√3-1)  +i(√3+1) +(√3-1)

Z/w =2√3 +2i

Z/w=2(√3+i)

Letra B