Question

(Ita 2007) Assinale a opção que indica o módulo do número complexo 1/(1 + i cotg x), x ≠ kπ, k ∈ .

Answer 1

Só faltou dizer que $\mathsf{K \ \in \ \mathbb{N}}$.

Seja $\mathsf{C \ = \ a \ + \ b\cdot i}$. $\mathsf{\overline{C} \ = \ a \ - \ b \cdot i}$ é o seu conjugado.

Além disso, $\mathsf{|z| \ = \ \sqrt{a^2 \ + \ b^2}}$ é o módulo desse número complexo (distância à origem do plano de Argand-Gauss).

Seja $\mathsf{z \ = \ \dfrac{1}{1 \ + \ i \ \cdot cotg(x)}}$ o número complexo.

Vamos racionalizar $\mathsf{z}$ (pois $\mathsf{i \ = \ \sqrt{-1}}$) multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador :

$\mathsf{z \ = \ z \ \cdot \ \underbrace{\dfrac{\mathsf{1 \ - \ i \cdot cotg(x)}}{\mathsf{1 \ - \ i \cdot cotg(x)}}}_{conjugado \ do \ denominador}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \mathsf{z \ = \ \dfrac{1}{1 \ + \ i \cdot cotg(x)} \ \cdot \ \dfrac{\mathsf{1 \ - \ i \cdot cotg(x)}}{\mathsf{1 \ - \ i \cdot cotg(x)}}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \mathsf{z \ = \ \dfrac{1 \ - \ i \cdot cotg(x)}{\underbrace{\mathsf{1^2 \ - \ i^2 \cdot cotg^2(x)}}_{produto \ not\'avel}}} \ \rightarrow$

$\mathsf{z \ = \ \dfrac{1 \ - \ i \cdot cotg(x)}{1 \ + \ cotg^2(x)}}$

Sendo $\mathsf{cotg(x) \ = \ tg^{-1}(x) \ = \ \dfrac{cos(x)}{sen(x)}} \ :$

$\mathsf{z \ = \ \dfrac{1 \ - \ i \cdot \Big(\frac{cos(x)}{sen(x)}\Big)}{1 \ + \ \Big(\frac{cos(x)}{sen(x)}\Big)^2}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \mathsf{z \ = \ \dfrac{\frac{sen(x) \ + \ i \cdot cos(x)}{sen(x)}}{\frac{sen^2(x) \ + \ cos^2(x)}{sen^2(x)}}} \ \rightarrow \ \mathsf{sen^2(x) \ + \ cos^2(x) \ = \ 1} \ : \\ \\ \\ \mathsf{z \ = \ \dfrac{\frac{sen(x) \ + \ i \cdot cos(x)}{sen(x)}}{\frac{1}{sen^2(x)}}}} \ \rightarrow$

$\mathsf{z \ = \ \dfrac{(sen(x) \ + \ i \cdot cos(x)) \ \cdot \ sen^{\not2}(x)}{\not sen(x)}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{z \ = \ sen^2(x) \ + \ i \cdot sen(x) \cdot cos(x)}}$

Podemos tirar que :

$\mathsf{\circ \ a \ = \ sen^2(x)}; \\ \\ \mathsf{\bullet \ b \ = \ sen(x) \ \cdot \ cos(x).}$

O módulo $\mathsf{|z|}$ é $\mathsf{\rightsquigarrow}$

$\mathsf{|z| \ = \ \sqrt{(sen^2(x))^2 \ + (sen(x) \cdot cos(x))^2}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \mathsf{|z| \ = \ \sqrt{sen^4(x) \ + \ sen^2(x) \cdot cos^2(x)}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \mathsf{|z| \ = \ \sqrt{sen^2(x) \cdot (\underbrace{\mathsf{sen^2(x) \ + \ cos^2(x)}}_{1})}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \mathsf{|z| \ = \ \sqrt{sen^2(x)}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{|z| \ = \ |sen(x)||}}} \ \Longrightarrow$

Módulo de $\mathsf{z}$!

Answer 2

Resposta:

Outra solução

Explicação passo a passo:

podemos escrever como $(1 + i cotg x)^-1$ ------>´´módulo``=$\sqrt{1^2+cotg x^2} ^{-1} = (sec/tg)^-1 = tg/sec = sen/cos ./. 1/cos = sen\\ou seja, Resposta= |SEN|$