Question

(ITA - 2005) Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em uma semi-esfera formam uma progressão aritmética de razão πr³/45. Se o volume da menor cunha for igual a πr³/18, então n é igual a

a) 4.
b) 3.
c) 6.
d) 5.
e) 7.​

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e feito a resolução concluímos que a esfera seccionada por 6 planos meridianos.

Progressão aritmética é uma sucessão de números reais  em que cada termo é obtido do anterior somando um número real fixo a que se chama razão.

Exemplos:

$\textstyle \sf \sf \bullet \quad A =\{2,5,8,11,14\}$ é P. A finita de razão r = 3;

$\textstyle \sf \sf \bullet \quad B =\{ -5,0,5, 10,15, \dotsi\}$ é uma P.A infinita de razão r = 5.

Fórmula do termo Geral de uma P.A:

Observamos que:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{rll} \sf a_1 & = \sf a_1 & = \sf a_1 + 0r \\ \sf a_2 &\sf = a_1 + r &\sf = a_1 + 1r \\ \sf a_3 &\sf = a_2 + r & \sf = a_1 + 2r \\ \sf a_4 & \sf = a_3 + r &\sf = a_1 + 3r \\ \sf \cdots & \sf = \cdots & \sf = \cdots \\ \sf a_n &\sf = a_{n-1}+r &\sf = a_1+(n-1)r \end{array} } }$

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r } }$

Soma dos Termos de uma P.A finita:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{S_n = \dfrac{(a_1+a_n) \cdot n}{2} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf Semi-esfera = \dfrac{1}{2} \cdot V_{esfera} \\\\ \sf V_{volume} = \dfrac{4}{3} \: \pi\: r^{3} \\ \\ \sf r = \dfrac{\pi \: r^3 }{45 } \\\\ \sf a_1 = \dfrac{\pi \: r^3 }{18 } \\ \\\sf S_n = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4 \pi \: r^3}{3} = \dfrac{2 \pi \: r^{3} }{3} \\ \\ \sf n = \:? \end{cases} } }$

O plano meridiano, ele dividirá a esfera em duas calotas esféricas iguais. conforme for passando n planos, para 2n cunhas esféricas.

A soma dos volumes dessas n cunhas é igual a $\textstyle \sf \sf S_n$.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_n = \dfrac{(a_1+a_n) \cdot n}{2} = \dfrac{[a_1+ a_1+(n-1) \cdot r] \cdot n}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{2 \pi \:r^{3} }{3} = \dfrac{\left( \dfrac{\pi \: r^{3} }{18} + \dfrac{\pi \: r^{3} }{18} +(n-1) \cdot \dfrac{\pi \: r^{3} }{45} \right) \cdot n}{2} } }$

Simplificando, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{2 }{3} = \dfrac{\left( \dfrac{1 }{18} + \dfrac{1 }{18} +(n-1) \cdot \dfrac{ 1 }{45} \right) \cdot n}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{2 }{3} = \dfrac{\left( \dfrac{2 }{18} - \dfrac{ 1 }{45} + \dfrac{ n }{45} \right) \cdot n}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{2 }{3} = \dfrac{\left( \dfrac{10}{90} - \dfrac{ 2 }{90} + \dfrac{2n }{90} \right) \cdot n}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{2 }{3} = \dfrac{\left( \dfrac{8}{90} + \dfrac{2n }{90} \right) \cdot n}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{24n}{90} + \dfrac{6n^2 }{90} = 4 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 6n^{2} +24n - 360 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ n^{2} +4n - 60 = 0 } }$

Resolvendo a equação, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ n =\begin{cases} \sf n_1 = -10 \to ~ n\tilde{a}o ~ serve \\\\ \sf n_2 = 6\end{cases} } }$

Concluímos que a esfera seccionada por 6 planos meridianos.

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