Question

(ITA - 2001) Se a ∈ ℝ é tal que 3y² – y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução da equação $\Large\sf 3^{2\:\!x+1}-3^x+a=0$ é


a) log₂ 6.


b) – log₂ 6.


c) log₃ 6.


d) colog₃ 6.


e) 1 – log₃ 6.

Answer 1

$\displaystyle \sf 3y^2-y+a= 0 \ \ ; \ a \in \mathbb{R} \\\\\ \underline{\text{se a eq do segundo grau tem raiz dupla, ent{\~a}o }\Delta = 0 } \\\\ \Delta = 0 \\\\ (-1)^2-4\cdot3\cdot a = 0 \\\\ 1-12\cdot a=0 \\\\ a = \frac{1}{12}$

Então temos :

$\displaystyle \sf 3^{2x+1}-3^{x}+a = 0 \\\\ 3^{2x+1}-3^{x}+\frac{1}{12}= 0 \\\\\\ 3^{2x}\cdot 3-3^{x}+\frac{1}{12} = 0 \\\\\\ \underline{\text{Fa{\c c}amos }3^{x } = k }: \\\\ 3k^2-k+\frac{1}{12}=0 \\\\\\ 3k^2-k+\frac{1}{12}=0 \ \left(\cdot 12 \right) \\\\\ 36k^2-12k +1 = 0 \\\\ (6k-1)^2 = 0 \\\\ k = \frac{1}{6}$

Desfazendo a troca de variável :

$\displaystyle \sf 3^{x} = k \\\\ 3^{x}=\frac{1}{6} \\\\ 3^{x} = 6^{-1 } \\\\ log_{\ 3}\ (3^x)=log_{\ 3}\ (6^{-1}) \\\\ x\cdot log_{\ 3}\ 3 = -1\cdot log_{\ 3} \ 6 \\\\ x = -log_{\ 3}\ 6$

Sabemos que :

$\sf colog \ \beta = - log \ \beta$

então :

$\huge\boxed{\sf x = colog_{\ 3}\ 6 \ }\checkmark$

letra D

Answer 2

Alternativa correta é o item D.

Uma função f: IR IR*+ chama-se exponencial quando existe um número real, com a > 0 e a ≠ 1, tal quer $\textstyle \sf f(x) = a^x$, para todo $\textstyle \sf x \in IR$.

A equação exponencial a toda equação cuja incógnita esteja em algum

expoente.

Exemplo:

$\boxed{ \displaystyle \sf a^x = b }$

Resolvendo:

$\displaystyle \sf 3y^2 - y +a = 0$

Particularidades de Δ:

$\displaystyle \sf \Delta = 0 \to$ tem raiz dupla.

$\displaystyle \sf \Delta = b^2 -\:4ac$

$\displaystyle \sf \Delta = (-\: 1)^2 -\:4 \cdot 3 \cdot a$

$\displaystyle \sf \Delta = 1 -12a$

Voltando a Particularidades de Δ:

$\displaystyle \sf \Delta = 0$

$\displaystyle \sf 1- 12a = 0$

$\displaystyle \sf 1 = 12a$

$\displaystyle \sf a = \dfrac{1}{12}$

Substituindo na outra equação à baixo, temos:

$\displaystyle \sf 3^{2x+1} -3^x +a = 0$

$\displaystyle \sf 3^{2x+1} -3^x + \dfrac{1}{12} = 0$

Aplicando a propriedade de exponencial; temos:

$\displaystyle \sf 3^{2x+1} -3^x + \dfrac{1}{12} = 0$

$\displaystyle \sf 3^{2x} \cdot 3^1 -3^x + \dfrac{1}{12} = 0$

$\displaystyle \sf (3^x)^2 \cdot 3 -3^x + \dfrac{1}{12} = 0$

Fazendo $\textstyle \sf 3^x = t$, temos:

$\displaystyle \sf 3t^2 -t + \dfrac{1}{12} = 0$

$\displaystyle \sf \Delta = b^2 -\:4ac$

$\displaystyle \sf \Delta = (-\;1)^2 -\:\diagup\!\!\!{ 4 }\cdot \diagup\!\!\!{ 3 } \cdot \dfrac{1}{ \diagup\!\!\!{ 12} }$

$\displaystyle \sf \Delta = 1 - 1$

$\displaystyle \sf \Delta = 0$

$\displaystyle \sf t = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,(-\:1) \pm \sqrt{ 0 } }{2 \cdot 3}$

$\displaystyle \sf t \Rightarrow\begin{cases} \sf t_1 = t_2 &\sf \dfrac{1+0}{2} = \dfrac{1}{6} \end{cases}$

Voltando a condição:

$\displaystyle \sf 3^x = t$

$\displaystyle \sf 3^x = \dfrac{1}{6}$

$\displaystyle \sf 3^x = 6^{-\:1}$

Quando o expoente na equação exponencial não ser um número de potencia, devemos aplicar a propriedade de logaritmo nos dois membro.

$\displaystyle \sf \log3^x = \log 6^{-1}$

$\displaystyle \sf x \log3 = -\; 1 \cdot \log 6$

$\displaystyle \sf x = - \: \dfrac{\log 6}{\log 3}$

Pela mudança de base, temos:

$\boxed{ \displaystyle \sf \log_b N = \dfrac{\log_a N}{\log_a b} }$

$\displaystyle \sf x = -\: \log_3\: 6$

Aplicando o cologaritmo, temos:

O cologaritmo de um número b na base a, o oposto do logaritmo de b na base a. Assim, para  a > 0, a ≠ 1  e b > 0.

$\displaystyle \sf colog_a \: b = -\; log_a\: b = \log_a\: b^{-1} = \log_a \: \dfrac{1}{b}$

Pela definição, temos;

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = colog_{\:3}\: 6 } }}$

Alternativa correta é o item D.

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