Question

Isto que está escrito abaixo, entre aspas, está certo? Explique por favor. Além da explicação, pode indicar uma fonte?
"série é diferente de sequência. Série tem ligação direta com somatório e sequência com sucessão."

Answer 1

Sequências

Informalmente, uma sequência é uma lista ordenada. Dependendo do contexto, essa lista pode ser de números ou não, finita ou infinita. Em geral, uma sequência é uma função $\mathsf{f: A \to X}$ onde o domínio é ou o conjunto dos números naturais ou é o conjunto {1,2,...,n} para algum n. Alguns autores incluem o 0 também no conjunto anterior, o importante aqui é a noção de sucessão.  É comum usar a seguinte notação: $\mathsf{ f(k) = x_k}$. Assim, (x₁, x₂, ..., xₙ) representa uma sequência com n termos, onde x₁ é o primeiro termo, x₂ o segundo, etc.

Do ponto de vista de cálculo, sequências são funções $\mathsf{f: \mathbb N \to \mathbb R}$. Ou seja, são infinitas e de números reais. São infinitas porque em cálculo estamos interessados em questões de convergência (não dá pra falar de limite de uma sequência que não tem infinitos temos). Além disso, em cálculo trabalha-se com números reais.

Séries

Novamente do ponto de vista de cálculo, uma série de uma sequência $\mathsf{(x_k)}$ é a sequência $\mathsf{(S_n)}$ onde

$S_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n x_k$

Por exemplo, se $\mathsf{ x_k = 1/2^k}$ então temos

$(x_k) = \left(1, \dfrac 12, \dfrac 14, \dfrac 18, \cdots, \dfrac 1{2^k} , \cdots\right)$

Assim temos

$S_1 = x_1 = 1 \\[2ex]S_2 = x_1 + x_2 = 1 + \dfrac 12 = \dfrac 32 \\[2ex]S_3 = x_1+x_2+x_3 = 1 + \dfrac 12 + \dfrac 14 = \dfrac 74 \\\phantom{S_3 = x_1+x_2+}\vdots\\S_n = x_1+\cdots + x_n = 1 + \cdots + \dfrac 1{2^n} = \dfrac{2^{n+1}-1}{2^n}$

Ou seja, a série de $\mathsf{(x_k)}$ é a sequência

$(S_n) = \left( 1, \dfrac 32, \dfrac 74, \dfrac {15}8, \cdots, \dfrac{2^{n+1}-1}{2^n}, \cdots \right)$

Isso também é chamado de sequência das somas parciais. Informalmente é bastante comum chamar de série o limite da sequência $\mathsf{(S_n)}$.

As vezes consideramos séries em outros contextos além da convergência. Séries de potências formais por exemplo tem aplicações em combinatória. Assim, para esses fins denominam-se séries simplesmente 'a soma infinita'. Ou seja, uma série de uma sequência $\mathsf{(x_k)}$ são os símbolos

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} x_k = x_1 + x_2 + \cdots +x_n +\cdots$

Não estamos fazendo uma 'soma', apenas colocando o símbolo + entre os termos da sequência.

Conclusão:

As definições precisas dependem de onde estamos trabalhando, as palavras podem significam coisas diferentes em contextos diferentes. Mas de maneira geral, e mais especificamente do ponto de vista de cálculo, séries e sequências são objetos distintos. A diferença é que séries são sequências construídas a partir de uma outra sequência (Isso é mais sutil do que parece. Veja a observação abaixo.)

Obs: Toda sequência de números reais $\mathsf{(x_n)}$ é a série de alguma outra sequência $\mathsf{(y_n)}$. Por exemplo, a sequência

$(x_n) = (1,2,3,4,...)$

é a série da sequência

$(y_n) = (1,1,1,1,...)$

Ou seja, séries são sequências e sequências são séries de alguma outra sequência. Mas mesmo assim não podemos dizer que séries e sequências são a mesma coisa.