Isole o x das equações:
a) 10^x+3 = 6.10^7-x
b) ln(2x-1) = 4
c) 2x-1 = e^ln(x^2)
Alguém poderia me ajudar a resolver esses exercícios?
Soluções para a tarefa
Respondido por
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a)
![10^{x+3}=6\cdot10^{7-x}\\\\\\\dfrac{10^{x+3}}{10^{7-x}}=6 10^{x+3}=6\cdot10^{7-x}\\\\\\\dfrac{10^{x+3}}{10^{7-x}}=6](https://tex.z-dn.net/?f=10%5E%7Bx%2B3%7D%3D6%5Ccdot10%5E%7B7-x%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5Cdfrac%7B10%5E%7Bx%2B3%7D%7D%7B10%5E%7B7-x%7D%7D%3D6)
Como a razão entre potências de mesma base é uma potência com base igual às antigas e expoente dado pela diferença entre os expoentes, temos que:
![10^{x+3-(7-x)}=6\\\\10^{x+3-7+x}=6\\\\10^{
2x-4}=6 10^{x+3-(7-x)}=6\\\\10^{x+3-7+x}=6\\\\10^{
2x-4}=6](https://tex.z-dn.net/?f=10%5E%7Bx%2B3-%287-x%29%7D%3D6%5C%5C%5C%5C10%5E%7Bx%2B3-7%2Bx%7D%3D6%5C%5C%5C%5C10%5E%7B%0A2x-4%7D%3D6)
Agora, como não há forma simples de igualar as bases, vamos aplicar logaritmo (base 10) nos dois lados da equação:
![\log10^{2x-4}=\log6\\\\(2x-4)\cdot\log10=\log6\\\\(2x-4)\cdot1=\log6\\\\2x-4=\log6\\\\2x=4+\log6\\\\\\\boxed{\boxed{x=\dfrac{1}{2}\big(4+\log6\big)}} \log10^{2x-4}=\log6\\\\(2x-4)\cdot\log10=\log6\\\\(2x-4)\cdot1=\log6\\\\2x-4=\log6\\\\2x=4+\log6\\\\\\\boxed{\boxed{x=\dfrac{1}{2}\big(4+\log6\big)}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clog10%5E%7B2x-4%7D%3D%5Clog6%5C%5C%5C%5C%282x-4%29%5Ccdot%5Clog10%3D%5Clog6%5C%5C%5C%5C%282x-4%29%5Ccdot1%3D%5Clog6%5C%5C%5C%5C2x-4%3D%5Clog6%5C%5C%5C%5C2x%3D4%2B%5Clog6%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5Cboxed%7B%5Cboxed%7Bx%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbig%284%2B%5Clog6%5Cbig%29%7D%7D)
b)
![\ln(2x-1)=4\\\\\log_{e}(2x-1)=4 \ln(2x-1)=4\\\\\log_{e}(2x-1)=4](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cln%282x-1%29%3D4%5C%5C%5C%5C%5Clog_%7Be%7D%282x-1%29%3D4)
Pela definição de logaritmo (
), temos
![\log_{e}(2x-1)=4~~\Leftrightarrow~~2x-1=e^{4}~~\Leftrightarrow~~2x=e^{4}+1\\\\\\~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{x=\dfrac{1}{2}\big(e^{4}+1\big)}} \log_{e}(2x-1)=4~~\Leftrightarrow~~2x-1=e^{4}~~\Leftrightarrow~~2x=e^{4}+1\\\\\\~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{x=\dfrac{1}{2}\big(e^{4}+1\big)}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clog_%7Be%7D%282x-1%29%3D4%7E%7E%5CLeftrightarrow%7E%7E2x-1%3De%5E%7B4%7D%7E%7E%5CLeftrightarrow%7E%7E2x%3De%5E%7B4%7D%2B1%5C%5C%5C%5C%5C%5C%7E%7E%5CLeftrightarrow%7E%7E%5Cboxed%7B%5Cboxed%7Bx%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbig%28e%5E%7B4%7D%2B1%5Cbig%29%7D%7D)
c)
Trabalhando no lado esquerdo:
![\ln(x^{2})=y~~\Leftrightarrow~~\log_{e}(x^{2})=y~~\Leftrightarrow~~e^{y}=x^{2} \ln(x^{2})=y~~\Leftrightarrow~~\log_{e}(x^{2})=y~~\Leftrightarrow~~e^{y}=x^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cln%28x%5E%7B2%7D%29%3Dy%7E%7E%5CLeftrightarrow%7E%7E%5Clog_%7Be%7D%28x%5E%7B2%7D%29%3Dy%7E%7E%5CLeftrightarrow%7E%7Ee%5E%7By%7D%3Dx%5E%7B2%7D)
pela definição. Mas, como
, podemos substituir, ficando com
![\boxed{\boxed{e^{\ln(x^{2})}=x^{2}}} \boxed{\boxed{e^{\ln(x^{2})}=x^{2}}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%5Cboxed%7Be%5E%7B%5Cln%28x%5E%7B2%7D%29%7D%3Dx%5E%7B2%7D%7D%7D)
Mais geralmente,![b^{\log_{b}a}=a~~~\mathsf{para~a,b~\textgreater~0~~e~~b\neq1} b^{\log_{b}a}=a~~~\mathsf{para~a,b~\textgreater~0~~e~~b\neq1}](https://tex.z-dn.net/?f=b%5E%7B%5Clog_%7Bb%7Da%7D%3Da%7E%7E%7E%5Cmathsf%7Bpara%7Ea%2Cb%7E%5Ctextgreater%7E0%7E%7Ee%7E%7Eb%5Cneq1%7D)
Então:
![2x-1=e^{\ln(x^{2})}\\\\2x-1=x^{2}\\\\0=x^{2}-2x+1\\\\0=x^{2}-2\cdot x\cdot1+1^{2}\\\\0=(x-1)^{2} 2x-1=e^{\ln(x^{2})}\\\\2x-1=x^{2}\\\\0=x^{2}-2x+1\\\\0=x^{2}-2\cdot x\cdot1+1^{2}\\\\0=(x-1)^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=2x-1%3De%5E%7B%5Cln%28x%5E%7B2%7D%29%7D%5C%5C%5C%5C2x-1%3Dx%5E%7B2%7D%5C%5C%5C%5C0%3Dx%5E%7B2%7D-2x%2B1%5C%5C%5C%5C0%3Dx%5E%7B2%7D-2%5Ccdot+x%5Ccdot1%2B1%5E%7B2%7D%5C%5C%5C%5C0%3D%28x-1%29%5E%7B2%7D)
Tirando raiz quadrada dos dois lados da equação:
![\sqrt{(x-1)^{2}}=\sqrt{0}\\\\|x-1|=0\\\\x-1=0\\\\\boxed{\boxed{x=1}} \sqrt{(x-1)^{2}}=\sqrt{0}\\\\|x-1|=0\\\\x-1=0\\\\\boxed{\boxed{x=1}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B%28x-1%29%5E%7B2%7D%7D%3D%5Csqrt%7B0%7D%5C%5C%5C%5C%7Cx-1%7C%3D0%5C%5C%5C%5Cx-1%3D0%5C%5C%5C%5C%5Cboxed%7B%5Cboxed%7Bx%3D1%7D%7D)
Como a razão entre potências de mesma base é uma potência com base igual às antigas e expoente dado pela diferença entre os expoentes, temos que:
Agora, como não há forma simples de igualar as bases, vamos aplicar logaritmo (base 10) nos dois lados da equação:
b)
Pela definição de logaritmo (
c)
Trabalhando no lado esquerdo:
pela definição. Mas, como
Mais geralmente,
Então:
Tirando raiz quadrada dos dois lados da equação:
hrodwulf:
Muito obrigado Niiya pela ajuda! Me ajudou muito! Valeu mesmo.
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