Question

Isole o x das equações:

a) 10^x+3 = 6.10^7-x

b) ln(2x-1) = 4

c) 2x-1 = e^ln(x^2)

Alguém poderia me ajudar a resolver esses exercícios?

Answer 1

a)

$10^{x+3}=6\cdot10^{7-x}\\\\\\\dfrac{10^{x+3}}{10^{7-x}}=6$

Como a razão entre potências de mesma base é uma potência com base igual às antigas e expoente dado pela diferença entre os expoentes, temos que:

$10^{x+3-(7-x)}=6\\\\10^{x+3-7+x}=6\\\\10^{ 2x-4}=6$

Agora, como não há forma simples de igualar as bases, vamos aplicar logaritmo (base 10) nos dois lados da equação:

$\log10^{2x-4}=\log6\\\\(2x-4)\cdot\log10=\log6\\\\(2x-4)\cdot1=\log6\\\\2x-4=\log6\\\\2x=4+\log6\\\\\\\boxed{\boxed{x=\dfrac{1}{2}\big(4+\log6\big)}}$

b)

$\ln(2x-1)=4\\\\\log_{e}(2x-1)=4$

Pela definição de logaritmo ($\log_{b}a=c~~\Leftrightarrow~~b^{c}=a$), temos

$\log_{e}(2x-1)=4~~\Leftrightarrow~~2x-1=e^{4}~~\Leftrightarrow~~2x=e^{4}+1\\\\\\~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{x=\dfrac{1}{2}\big(e^{4}+1\big)}}$

c)

Trabalhando no lado esquerdo:

$\ln(x^{2})=y~~\Leftrightarrow~~\log_{e}(x^{2})=y~~\Leftrightarrow~~e^{y}=x^{2}$

pela definição. Mas, como $y=\ln(x^{2})$, podemos substituir, ficando com

$\boxed{\boxed{e^{\ln(x^{2})}=x^{2}}}$

Mais geralmente, $b^{\log_{b}a}=a~~~\mathsf{para~a,b~\textgreater~0~~e~~b\neq1}$

Então:

$2x-1=e^{\ln(x^{2})}\\\\2x-1=x^{2}\\\\0=x^{2}-2x+1\\\\0=x^{2}-2\cdot x\cdot1+1^{2}\\\\0=(x-1)^{2}$

Tirando raiz quadrada dos dois lados da equação:

$\sqrt{(x-1)^{2}}=\sqrt{0}\\\\|x-1|=0\\\\x-1=0\\\\\boxed{\boxed{x=1}}$