Question

Investigue o que acontece com a função f(x)=|x|/x nas proximidades de x=0

Answer 1

Quando se tem um número em módulo, sempre resultará nesse número positivo. Podemos dizer então que:
f(x)=|x|/x
f(x)=x/x

Quando x=1

f(x)=1/1
f(x)=1

Quando x chega mais perto de 0, em x=0,1

f(x)=0,1/0,1
f(x)=1

Mais perto ainda, x=0,0001

f(x)=0,0001/0,0001
f(x)=1

Ou seja, f(x) nas proximidades de x=0 pelo lado positivo dará 1.

Agora, com x=0, exato.

f(x)=0/0

E 0/0 gera uma indeterminação pois 0÷0 pode ter qualquer valor como resultado.

Se a conta for feita pelo lado negativo, as proximidades de x=0 darão -1:

f(x)=|-1|/-1
f(x)=1/-1
f(x)=-1

f(x)=|-0,0001|/-0,0001
f(x)=0,0001/-0,0001
f(x)=-1