Question

inversa trigonométrica

como resolver:

$cos(arc sen( \frac{ \sqrt[]{3} }{2}))$

eu fiz assim:

$arc sen ( \frac{ \sqrt[]{3} }{2}) = \alpha$

então: $sen \alpha = ( \frac{ \sqrt[]{3} }{2})$

pela relação fundamental da trigonometria temos:

$\frac{3}{4} + cos ^{2} \alpha = 1$

$cos \alpha = ( \frac{1}{2}) \\ \\ ou \\\\ cos \alpha = (-\frac{1}{2} )$

mas a resposta é apenas "meio", não entendo, já que cos de alfa pode estar no 1º e 2º quadrante, caso o seno seja positivo...

Answer 1

Vou fazer o caso geral:

Seja $\theta=\mathrm{arcsen\,}x,$ com $-1\le x\le 1.$ Queremos calcular

$\cos\!\big(\mathrm{arcsen\,}x\big)=\cos \theta$


Sabemos que

$\mathrm{sen}\big(\mathrm{arcsen\,}x\big)=\mathrm{sen\,} \theta\\\\\\x=\mathrm{sen\,} \theta\\\\ x^2=\mathrm{sen^2\,}\theta\\\\ x^2=1-\cos^2\theta\\\\ \cos^2\theta=1-x^2\\\\ \cos \theta=\pm \sqrt{1-x^2}$


Mas $\theta=\mathrm{arcsen\,}x,$ logo $\theta$ está no conjunto imagem da função $\mathrm{arcsen}:$

$-\dfrac{\pi}{2}\le \theta\le\dfrac{\pi}{2}.$


e neste intervalo, $\cos \theta$ é sempre $\ge 0.$ Logo, devemos descartar a raiz quadrada com o sinal negativo, e finalmente obtemos

$\cos \theta=\sqrt{1-x^2}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\cos\!\big(\mathrm{arcsen\,}x\big)=\sqrt{1-x^2}\end{array}}$

___________________

No caso desta questão,

$x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$


de forma que

$\cos\!\left(\mathrm{arcsen\,}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )^{\!\!2}}\\\\\\ =\sqrt{1-\dfrac{3}{4}}\\\\\\ =\sqrt{\dfrac{4-3}{4}}\\\\\\ =\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\\\\\ =\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\cos\!\left(\mathrm{arcsen\,}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{1}{2} \end{array}}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

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$\sf cos\bigg(arc~sen\bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)\bigg)\\\sf \theta=arc~sen\bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)\implies sen(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\sf sen^2(\theta)=\bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)^2=\dfrac{3}{4}\\\sf cos^2(\theta)=1-sen^2(\theta)\\\sf cos^2(\theta)=\dfrac{4}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\\\sf cos(\theta)=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2} pois~-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}\\\sf cos\bigg(arc~sen\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)=cos(\alpha)=\dfrac{1}{2}\blue{\checkmark}$