Question

INVERSA DE MATRIZ 2X2


Seja $A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$ e denote por $\Delta = ad-bc$. Se $\Delta \neq 0$, prove que A é invertivel e vale $A^{-1} = \Delta^{-1} \left[\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\\\end{array}\right]$.

Calcule a inversa da matriz $A = \left[\begin{array}{ccc}2&-5\\-1&3\\\end{array}\right]$ e resolve o sistema $Ax =b$, onde $b = \left[\begin{array}{ccc}2\\-3\end{array}\right]$.

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre matrizes.

Primeiro, seja a matriz $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}$. Supondo que $A$ admite inversa, sabemos que $A\cdot A^{-1}=I_2$, onde $I_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}$ é a matriz identidade de ordem $2$.

Então, calculando o determinante de ambos os lados da igualdade, temos:

$\det(A\cdot A^{-1})=\det(I_2)$

Pelo Teorema de Binet, temos que $\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)$, então fazemos:

$\det(A)\cdot \det(A^{-1})=1$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $\det(A),~\det(A)\neq0$

$\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}$

Então, para que a matriz $A$ admita inversa, é necessário que seu determinante seja não nulo.

Para encontrarmos a matriz inversa, utilizaremos o método da matriz adjunta: $A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\cdot \text{adj}(A)$, onde $\text{adj}(A)=(C(A))^T=\begin{bmatrix}\widetilde{a_{11}}&\widetilde{a_{12}}\\\widetilde{a_{21}}&\widetilde{a_{22}}\\\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}\widetilde{a_{11}}&\widetilde{a_{21}}\\\widetilde{a_{12}}&\widetilde{a_{22}}\\\end{bmatrix}$ é a matriz adjunta e $C(A)$ é a matriz dos cofatores de $A$.

Os cofatores de uma matriz podem ser calculados pela fórmula $\widetilde{a_{ij}}=(-1)^{i+j}\cdot \det(M_{ij})$, onde $M_{ij}$ é a menor principal associada ao elemento $a_{ij}$, encontrada ao deletar a linha $i$ e coluna $j$ da matriz original.

Então, utilizando os elementos de $A$, calculamos os cofatores:

$\widetilde{a_{11}}=(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}d\\\end{vmatrix}=d\\\\\\ \widetilde{a_{12}}=(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}c\\\end{vmatrix}=-c\\\\\\ \widetilde{a_{21}}=(-1)^{2+1}\cdot \begin{vmatrix}b\\\end{vmatrix}=-b\\\\\\ \widetilde{a_{22}}=(-1)^{2+2}\cdot \begin{vmatrix}a\\\end{vmatrix}=a$

Substituindo os cofatores na matriz adjunta, teremos:

$\text{adj}(A)=\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}$

Dessa forma, demonstra-se que vale a igualdade $A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\cdot\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}$.

Agora, devemos calcular a inversa da matriz $A=\begin{bmatrix}2&-5\\-1&3\\\end{bmatrix}$ e resolver o sistema de equações.

Calculamos o determinante de $A$

$\det(A)=\begin{vmatrix}2&-5\\-1&3\\\end{vmatrix}=2\cdot3-(-5)\cdot(-1)=6-5=1$

Utilizando o resultado encontrado anteriormente, calculamos a matriz inversa de $A$

$A^{-1}=\dfrac{1}{1}\cdot \begin{bmatrix}3&-(-5)\\-(-1)&2\\\end{bmatrix}\\\\\\ A^{-1}=\begin{bmatrix}3&5\\1&2\\\end{bmatrix}~~\checkmark$

Por fim, resolvemos o sistema de equações $AX=B$, tal que $B=\begin{bmatrix}2\\-3\\\end{bmatrix}$.

Antes, lembre-se que um sistema de equações tem solução única se o determinante da matriz $A$ é não nulo. Como visto anteriormente, a matriz $A$ tem determinante $1$ e portanto, satisfaz esta propriedade.

Por sua vez, a solução do sistema é a matriz $X=\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}$, que pode ser encontrada ao multiplicarmos ambos os lados da igualdade pela matriz inversa de $A$ pela esquerda:

$A^{-1}\cdot AX=A^{-1}\cdot B\\\\\\ X=\begin{bmatrix}3&5\\1&2\\\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}2\\-3\\\end{bmatrix}$

O produto de matrizes ocorre quando o número de colunas da matriz à esquerda é igual ao número de linhas da matriz à direita, isto é, as ordens das matrizes devem ser $m\times n$ e $n\times p$, respectivamente. O resultado desta multiplicação é uma matriz de ordem $m\times p$.

Então, lembrando que a multiplicação de matrizes é calculada pela soma dos produtos dos elementos respectivos de cada linha da matriz à esquerda e cada coluna da matriz à direita. Assim, teremos:

$X=\begin{bmatrix}3\cdot2+5\cdot(-3)\\1\cdot2+2\cdot(-3)\\\end{bmatrix}\\\\\\ X=\begin{bmatrix}6-15\\2-6\\\end{bmatrix}\\\\\\ X=\begin{bmatrix}-9\\-4\\\end{bmatrix}~~\checkmark$