Question

Interpretações geométricas das derivadas parciais de uma função de duas variáveis são similares àquelas dadas para funções de uma variável. Determine a inclinação da reta tangente à curva de intersecção da superfície z=x2+y2 com o plano y=1, no ponto (2,1,5).

Answer 1

Resposta:

$\frac{Df}{Dx}(2,1)=4$  

Explicação passo-a-passo:

Primeiro consideremos a função :

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$

Verificamos que P=(2,1,5) ∈ f

A qual determina um parabolóide.

A curva será a intersecção entre o paraboloide f(x,y) e o plano y=1:

$\left \{ {{f(x,y)=x^{2}+y^{2}} \atop {y=1}} \right. \\\\ f(x,y)=x^{2}+1$  Que é uma curva (parábola)

As derivadas parciais fornecem a inclinação da reta tangente  a esta curva.

Fácil ver que  $\frac{D}{Dy}(x,y)=0$ e $\frac{Df}{Dx}(x,y)=2x$

D: seignifica Derivada Parcial

Assim a inclinação da reta em A=(2,1) será:

$\frac{Df}{Dx}(2,1)=4$

Obs:

Sei que P está na intersecção do paraboloide e o plano, logo a inclinação dependerá do ponto A=(2,1) = projeção de P no plano xOy

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