Question

Interpole quatro meios geométricos entre -4 e 972

Answer 1

Primeiro temos de descobrir a razão (q) da progressão, usando da seguinte fórmula:


$\large\begin{array}{l}\large\fbox{ \mathsf{q=\sqrt[\mathsf{k+1}]{\frac{\mathsf{b}}{\mathsf{a}}}} }\end{array}$


Onde k representa os termos a serem interpolados, a é o primeiro termo e b o n-ésimo termo.

Assim:


$\begin{array}{l}\mathsf{q=\sqrt[\mathsf{4+1}]{\mathsf{\dfrac{972}{-4}}}\Leftrightarrow\sqrt[\mathsf{5}]{-\dfrac{\mathsf{2^2\cdot 3^5}}{\mathsf{4}}}\Leftrightarrow3\sqrt[\mathsf{5}]{-\dfrac{\mathsf{4}}{\mathsf{4}} }\Leftrightarrow3 \sqrt[\mathsf{5}]{-1}\Leftrightarrow3\cdot(-1)\Leftrightarrow-3}\end{array}$


Agora que sabemos a razão fica fácil descobrir os termos da progressão, basta usar da fórmula de recorrência de uma P.G:


$\mathsf{a_1\cdot q=a_2}\\\\\mathsf{a_2\cdot q=a_3}\\\\...............\\\\\mathsf{a_{n-1}\cdot q=a_n}$


Substituindo:


$\mathsf{-4\cdot (-3)=a_2~\Rightarrow~a_2=12}\\\\\mathsf{12\cdot(-3)=a_3~\Rightarrow~a_3=-36}\\\\\mathsf{-36\cdot(-3)=a_4~\Rightarrow~a_4=108}\\\\\mathsf{108\cdot(-3)=a_5~\Rightarrow~a_5=-324}\\\\\mathsf{-324\cdot(-3)=a_6~\Rightarrow~a_6=972}$


Portanto os 4 meios interpolados são (sublinhados):


$\mathsf{(-4,~\underline{12,-36,~108,-324},~972)~~\large\checkmark}$