Question

Interpole oito meios geométricos entre 256 e ½

Answer 1

Resposta:

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica que respeita uma lei de formação. Numa PG, todo termo, a partir do segundo, é obtido fazendo o produto entre o termo anterior e uma constante q. Essa constante q é chamada de razão da progressão geométrica. Interpolar meios geométricos entre dois números quaisquer a1 e an significa determinar os números reais existentes entre a1 e an para que a sequência numérica seja uma PG.

Para realização da interpolação de meios geométricos precisamos utilizar a fórmula do termo geral da PG:

Para interpolar meios geométricos, também é necessário conhecer o valor da razão da PG.

Exemplo 1. Uma PG é formada por 6 termos, onde a1 = 4 e a6 = 972. Determine os meios geométricos existentes entre a1 e a6.

Solução: Para interpolar os meios geométricos entre 4 e 972 precisamos determinar o valor da razão da PG. Para isso, vamos utilizar a fórmula do termo geral

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que a razão da PG é 3 e que cada termo, a partir do segundo, é obtido fazendo o produto entre o termo anterior e a razão. Assim, teremos:

Exemplo 2. Determine os termos que faltam na sequência numérica (3, _, _, _, _, _, _, _, _, 1536) para que tenhamos uma progressão geométrica.

Solução: Observe que descobrir os termos que faltam na sequência com extremos 3 e 1536 significa interpolar meios geométricos. Dessa forma, precisamos determinar o valor da razão dessa PG.

Pela sequência numérica dada, sabemos que a1 = 3 e a10 = 1536 (pois 1536 ocupa a décima posição na sequência). Utilizando a fórmula do termo geral, teremos:

Conhecido o valor da razão, podemos determinar os termos que faltam na sequência:

Exemplo 3. Uma indústria produziu 100 unidades de um produto no mês de janeiro. Em julho do mesmo ano, ela produziu 6400 unidades desse produto. Determine quantas unidades foram produzidas nos meses de fevereiro a junho, sabendo que as quantidades produzidas de janeiro a julho determinam uma PG.

Solução: De acordo com o enunciado do problema, a sequência (100, _, _, _, _, _, 6400) é uma PG. Para resolver o problema precisamos determinar os termos que faltam nessa PG ou interpolar meios geométricos entre 100 e 6400. Assim, precisamos determinar a razão dessa PG, onde a1 = 100 e a7 = 6400.

Conhecido o valor da razão, temos que:

Portanto, a produção no mês de fevereiro foi de 200 unidades; março foi de 400 unidades; abril foi de 800 unidades; maio foi de 1600 unidades; e junho foi de 3200 unidades.

Answer 2

Interpolando 8 meios geométricos, estaremos formando uma PG com 10 termos sendo que  a₁=256 e a₁₀= ¹/₂.

                           {256 , a₂ , a₃ , a₄ , a₅ , a₆ , a₇ , a₈ , a₉ , ¹/₂}

Vamos começar determinando a razão "q" dessa PG com auxilio da relação do termo geral da PG:

$\sf a_n~=~a_m\cdot q^{n-m}\\\\\\Para~n=10~e~m=1,~temos:\\\\\\a_{10}~=~a_1\cdot q^{10-1}\\\\\\\dfrac{1}{2}~=~256\cdot q^{9}\\\\\\q^{9}~=~\dfrac{1}{2\cdot 256}\\\\\\q^{9}~=~\dfrac{1}{512}\\\\\\q~=~\dfrac{\sqrt[9]{1}}{\sqrt[9]{512}}\\\\\\\boxed{\sf q~=~\dfrac{1}{2}}$

Podemos agora determinar os termos que foram interpolados utilizando, novamente, o termo geral da PG.

$\sf a_2~=~a_1\cdot q^{2-1}~=~256\cdot \dfrac{1}{2}~\Rightarrow~\boxed{\sf a_2~=~128}\\\\a_3~=~a_2\cdot q^{3-2}~=~128\cdot \dfrac{1}{2}~\Rightarrow~\boxed{\sf a_3~=~64}\\\\a_4~=~a_3\cdot q^{4-3}~=~64\cdot \dfrac{1}{2}~\Rightarrow~\boxed{\sf a_4~=~32}\\\\a_5~=~a_4\cdot q^{5-4}~=~32\cdot \dfrac{1}{2}~\Rightarrow~\boxed{\sf a_5~=~16}\\\\a_6~=~a_5\cdot q^{6-5}~=~16\cdot \dfrac{1}{2}~\Rightarrow~\boxed{\sf a_6~=~8}$

$\sf a_7~=~a_6\cdot q^{7-6}~=~8\cdot \dfrac{1}{2}~\Rightarrow~\boxed{\sf a_7~=~4}\\\\\sf a_8~=~a_7\cdot q^{8-7}~=~4\cdot \dfrac{1}{2}~\Rightarrow~\boxed{\sf a_8~=~2}\\\\\sf a_9~=~a_8\cdot q^{9-8}~=~2\cdot \dfrac{1}{2}~\Rightarrow~\boxed{\sf a_9~=~1}$

Assim, a PG fica:  {256 , 128 , 64 , 32 , 16 , 8 , 4 , 2 , 1 , ¹/₂}

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$