Question

interpole 5 meios geométricos entre 15 e 105

Answer 1

Olá Guilherme,


Equação geral de uma P.G é:  $\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}$

Como serão adicionados 5 meios geométricos entre 15 e 105, essa P.G terá 7 termos:

$\mathsf{a_1=15}\\\mathsf{a_7=105}\\\mathsf{q=?}\\\\\mathsf{105=15\cdot q^{7-1}\Rightarrow \dfrac{105}{15}=q^6\Rightarrow 7=q^6\Rightarrow q=\sqrt[6]{7}}\\\\\\\mathsf{a_2=15\cdot (\sqrt[6]{7})^{2-1}\Rightarrow \boxed{\mathsf{a^2=15\cdot \sqrt[6]{7}}}}\\\\\mathsf{a_3=15\cdot (\sqrt[6]{7})^{3-1}\Rightarrow a_3=15\cdot(\sqrt[6]{7}) ^2\Rightarrow a_3=15\cdot 7^{\frac{2}{6}}\Rightarrow a_3=15\cdot 7^{\frac{1}{3}}}\\=\\\boxed{\mathsf{a_3=15\cdot \sqrt[3]{7}}}$

$\mathsf{a_4=15\cdot (\sqrt[6]{7})^{4-1}\Rightarrow a_4=15\cdot(\sqrt[6]{7})^3\Rightarrow a_4=15\cdot 7^{\frac{3}{6}}\Rightarrow a_4=15\cdot 7^{\frac{1}{2}}}\\=\\\boxed{\mathsf{a_4=15\cdot \sqrt{7}}}\\\\\mathsf{a_5=15\cdot(\sqrt[6]{7})^{5-1}\Rightarrow a_5=15\cdot(\sqrt[6]{7})^4\Rightarrow a_5=15\cdot 7^{\frac{4}{6}}\Rightarrow a_5=15\cdot 7^{\frac{2}{3}}}\\=\\\boxed{\mathsf{a_5=15\cdot \sqrt[3]{7^2}}}$

$\mathsf{a_6=15\cdot (\sqrt[6]{7})^{6-1}\Rightarrow a_6=15\cdot (\sqrt[6]{7})^5\Rightarrow \boxed{\mathsf{a_6=15\cdot \sqrt[6]{7^5}}}}$

Portanto temos:

$\boxed{\mathsf{P.G~\{15,~(15\cdot\sqrt[6]{7}),~(15\cdot\sqrt[3]{7}),~(15\cdot\sqrt[2]{7}),~(15\cdot\sqrt[3]{7^2}),~(15\cdot\sqrt[6]{7^5})}}$

Dúvidas? comente