Question

interpole 5 meios geométricos entre 15 e 105

Answer 1

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Interpolar 5 meios geométricos entre 15 e 105 é equivalente a obtermos uma progressão geométrica

$\mathsf{(15,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\,a_5,\,a_6,\,105)}$

com 7 termos, onde

•  o primeiro termo é $\mathsf{a_1=15;}$

•  o último termo é $\mathsf{a_7=105.}$


Pela fórmula do termo geral da P.G.:

$\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}\qquad\quad\textsf{com }\mathsf{n=1,\,2,\,\ldots,\,7}\\\\ \mathsf{q^{n-1}=\dfrac{a_n}{a_1}}\\\\\\ \mathsf{q=\,^{n-1}\!\!\!\!\sqrt{{\dfrac{a_n}{a_1}}}}$


Se n for ímpar, podemos considerar também

$\mathsf{q=\pm \,^{n-1}\!\!\!\!\sqrt{{\dfrac{a_n}{a_1}}}}$

o que nos forneceria uma P.G. alternante.


Para $\mathsf{n=7},$ temos

$\mathsf{q=\,^{7-1}\!\!\!\!\sqrt{{\dfrac{a_7}{a_1}}}}\\\\\\ \mathsf{q=\,^6\!\!\!\!\sqrt{{\dfrac{105}{15}}}}\\\\\\ \mathsf{q=\,^6\!\!\!\sqrt{7}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{raz\~{a}o da P.G.}$


Encontrando os meios geométricos:

•   $\mathsf{a_2=a_1\cdot q}$

$\mathsf{a_2=15\,^6\!\!\!\sqrt{7}}\qquad\quad\checkmark$


•   $\mathsf{a_3=a_1\cdot q^2}$

$\mathsf{a_3=15\cdot (\,^6\!\!\!\sqrt{7})^2}\\\\ \mathsf{a_3=15\cdot \,^6\!\!\!\sqrt{7^2}}\\\\ \mathsf{a_3=15\,^3\!\!\!\sqrt{7}}\qquad\quad\checkmark$


•   $\mathsf{a_4=a_1\cdot q^3}$

$\mathsf{a_4=15\cdot (\,^6\!\!\!\sqrt{7})^3}\\\\ \mathsf{a_4=15\cdot \,^6\!\!\!\sqrt{7^3}}\\\\ \mathsf{a_4=15\sqrt{7}}\qquad\quad\checkmark$


•   $\mathsf{a_5=a_1\cdot q^4}$

$\mathsf{a_5=15\cdot (\,^6\!\!\!\sqrt{7})^4}\\\\ \mathsf{a_5=15\cdot \,^6\!\!\!\sqrt{7^4}}\\\\ \mathsf{a_5=15\,^3\!\!\!\sqrt{7^2}}\\\\ \mathsf{a_5=15\,^3\!\!\!\sqrt{49}}\qquad\quad\checkmark$


•   $\mathsf{a_6=a_1\cdot q^5}$

$\mathsf{a_6=15\cdot (\,^6\!\!\!\sqrt{7})^5}\\\\ \mathsf{a_6=15\cdot \,^6\!\!\!\sqrt{7^5}}\\\\ \mathsf{a_6=15\,^6\!\!\!\sqrt{16\,807}}\qquad\quad\checkmark$


A P.G. com os termos interpolados é

$\mathsf{(15,\,15\,^6\!\!\!\sqrt{7},\,15\,^3\!\!\!\sqrt{7},\,15\sqrt{7},\,15\,^3\!\!\!\sqrt{49},\,15\,^6\!\!\!\sqrt{16\,807},\,105)}\qquad\checkmark$


Bons estudos! :-)