Question

Interpole 3 meios geométricos entre 1 e 256.

Answer 1

✅ Após finalizar todos os cálculos, concluímos que a progressão geométrica procurada é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ P.G.(1, {\bf 4, 16, 64, } \:256)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sabemos que para calcular qualquer termo de uma progressão geométrica devemos utilizar a fórmula do termo geral, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$               $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{n} = A_{1}\cdot q^{n - 1}\end{gathered}$

Como estamos querendo interpolar uma quantidade de meios geométricos na sequência, então devemos, primeiramente,  calcular o valor da razão. Para isso, devemos isolar "r" na equação "I". Então, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} q = \sqrt[n - 1]{\frac{A_{n}}{A_{1}}}\end{gathered} }$

Sabendo que o número total de termos "n" é igual ao número de meios "m" acrescido de "2", ou seja:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = m + 2\end{gathered}$

Desse modo, temos os seguintes dados:

              $\Large\begin{cases} m = 3\\n = m + 2 = 3 + 2 = 5\\A_{1} = 1\\A_{7} = 256\end{cases}$

Substituindo os dados na equação "II", temos:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} q = \sqrt[5 - 1]{\frac{256}{1}} = \sqrt[4]{256} = 4\end{gathered} }$

Portanto, o valor da razão da progressão geométrica é:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} q = 4\end{gathered}$

Agora devemos calcular o valor de cada um dos termos da progressão geométrica, que são:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{1} = 1\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{2} = A_{1} \cdot r = 1 \cdot 4 = 4\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{3} = A_{2} \cdot r = 4 \cdot 4 = 16\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{4} = A_{3} \cdot r = 16 \cdot 4 = 64\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{5} = A_{4} \cdot r = 64 \cdot 4 = 256\end{gathered}$

✅ Agora podemos montar a progressão aritmética:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} P.G.(1, {\bf 4, 16, 64,} \:256)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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