Question

Interpolar três meios geométricos entre 5 e 405

Answer 1

Usando a fórmula do termo geral de um PG an=a1.q^(n-1) é possível resolver esse probleminha da seguinte forma :
an=405; a1=5; n= 2+3 = 5; q = ?

an=a1.q^(n-1)
405=5.q^(5-1)
405/5=q^4
81=q^4

*Agora é preciso fatorar o 81.
Vamos fatorar ele por 3 :
81/3=27
27/3=9
9/3=3
3/3=1
Ou seja, 81 = 3^4

Continuando a operação ...
3^4 = q^4

Corte os expoentes, pois eles foram igualados !
 3=q

Agora que obtemos a raiz, será possível inserir (interpolar) 3 meios aritméticos entre 5 e 405. Ficará assim : 
PG = (5; 15 ; 45 ; 135; 405).

Pronto ! Finalizamos a operação ! ;)

Espero ter ajudado ! :D

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a progressão geométrica procurada é:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ P.A.(5, {\bf 15, 45, 135, }\:405)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sabemos que pra resolver progressão geométrica devemos utilizar a fórmula do termo geral que é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{n} = A_{1} \cdot q^{n - 1}\end{gathered}$

Se desejamos inserir uma quantidade de meios geométricos entre dois extremos de uma sequência, então devemos, primeiramente, calcular  a razão da referida progressão geométrica. Para isso, devemos isolar a razão "q" no primeiro membro da equação "I", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} q = \sqrt[n - 1]{\frac{A_{n}}{A_{1}}}\end{gathered} }$

Além disso, devemos saber que o número total de termos ´"n" da progressão é igual ao número de meios "m" acrescido de "2", isto é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = m + 2\end{gathered}$

Desta forma, temos os seguintes dados:

         $\Large\begin{cases} m = 3\\n = m + 2 = 3 + 2 = 5\\A_{1} = 5\\A_{5} = 405\end{cases}$

Substituindo os dados na equação "II", temos:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} q = \sqrt[5 - 1]{\frac{405}{5}} = \sqrt[4]{81} = 3\end{gathered} }$

Portanto, a razão é:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} q = 3\end{gathered}$

Agora devemos calcular cada um dos termos da progressão aritmética:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{1} = 5\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{2} = A_{1} \cdot q = 5 \cdot 3 = 15\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{3} = A_{2} \cdot q = 15 \cdot 3 = 45\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{4} = A_{3} \cdot q = 45 \cdot 3 = 135\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{5} = A_{4}\cdot q = 135 \cdot 3 = 405\end{gathered}$

✅ Portanto, a progressão procurada é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} P.A.(5, {\bf 15, 45, 135, }\:405)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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