interpolar três meios geométricos entre 3 e 768
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Vamos lá.
Veja, Jana, que interpolar meios geométricos (ou mesmo aritméticos) entre dois extremos implica em que, primeiro, conheçamos a razão da sequência (observação: se for meios geométricos, então estamos tratando de uma PG; e se for meios aritméticos, estaremos tratando de uma PA).
Como estão sendo pedidos para interpolar 3 meios geométricos entre "3" e "768", então estamos tratando de uma PG.
Antes observe que essa PG vai ter 5 termos, pois já temos os dois extremos, que são o "3" e o "768" e ainda vamos inserir (ou interpolar, o que é a mesma coisa) mais 3 outros termos entre esses dois extremos. Portanto: 2 + 3 = 5.
Para isso, vamos aplicar a fórmula do termo geral de uma PG, que é dada da seguinte forma:
an = a₁*qⁿ⁻¹ .
Na fórmula acima, "an" é o último termo. Então, substituiremos "an" por "768". Por sua vez, "a₁" é o primeiro termo, que substituiremos por "3". Por seu turno "n" é o número de termos, que substituiremos por "5", pois, como você viu, a PG terá 5 termos (que são os dois extremos MAIS os três termos que vão ser interpolados). E, finalmente "q" é a razão da PG, que é o que vamos encontrar. Assim, fazendo essas substituições, teremos:
768 = 3*q⁵⁻¹
768 = 3*q⁴ ---- vamos apenas inverter, ficando:
3*q⁴ = 768 ------- Acho que até aqui você está entendendo, né?
Agora note que o "q⁴" está sendo multiplicado por "3". Então se eu isolar "q⁴" eu passo o "3" para o outro lado dividindo. Então ficaremos:
q⁴ = 768/3 ----- agora note que a divisão de 768 por 3 dá exatamente "256". Logo:
q⁴ = 256 ------ agora veja: se q⁴ = 256, então é porque o "q" será igual a: ⁴√(256), ou seja: o "q" sozinho será igual à raiz quarta de (256). E raiz quarta de (256) é igual a "4". Logo, continuando e explicando o porquê de raiz quarta de (256) ser igual a "4", teremos:
q = ⁴√(256) ----- veja que 256 = 4⁴ . Assim, substituindo-se, teremos:
q = ⁴√(4⁴) ----- note que o "4", por estar elevado à 4ª potência, então ele sairá de dentro da raiz quarta, ficando:
q = 4 <--- Esta será a razão da PG.
Agora que já sabemos qual é a razão da PG (q = 4), vamos encontrar quais são esses três meios geométricos a serem inseridos. Para isso, basta utilizar a razão (q = 4) a partir do primeiro termo (a₁ = 3) para encontrar os demais termos. Assim:
a₁ = 3
a₂ = 3*4 = 12
a₃ = 12*4 = 48
a₄ = 48*4 = 192
a₅ = 192*4 = 768
Logo, os três termos (os três meios geométricos) a serem interpolados entre "3" e "768" serão: 12, 48 e 192.
Note que a PG completa com os seus 5 termos será esta, cujos termos interpolados estão marcados com uma seta:
(3; 12; 48; 192; 768)
. . . ↑ . .↑ . .↑ . . . .
É isso aí.
Agora melhorou o entendimento?
OK?
Adjemir.
Veja, Jana, que interpolar meios geométricos (ou mesmo aritméticos) entre dois extremos implica em que, primeiro, conheçamos a razão da sequência (observação: se for meios geométricos, então estamos tratando de uma PG; e se for meios aritméticos, estaremos tratando de uma PA).
Como estão sendo pedidos para interpolar 3 meios geométricos entre "3" e "768", então estamos tratando de uma PG.
Antes observe que essa PG vai ter 5 termos, pois já temos os dois extremos, que são o "3" e o "768" e ainda vamos inserir (ou interpolar, o que é a mesma coisa) mais 3 outros termos entre esses dois extremos. Portanto: 2 + 3 = 5.
Para isso, vamos aplicar a fórmula do termo geral de uma PG, que é dada da seguinte forma:
an = a₁*qⁿ⁻¹ .
Na fórmula acima, "an" é o último termo. Então, substituiremos "an" por "768". Por sua vez, "a₁" é o primeiro termo, que substituiremos por "3". Por seu turno "n" é o número de termos, que substituiremos por "5", pois, como você viu, a PG terá 5 termos (que são os dois extremos MAIS os três termos que vão ser interpolados). E, finalmente "q" é a razão da PG, que é o que vamos encontrar. Assim, fazendo essas substituições, teremos:
768 = 3*q⁵⁻¹
768 = 3*q⁴ ---- vamos apenas inverter, ficando:
3*q⁴ = 768 ------- Acho que até aqui você está entendendo, né?
Agora note que o "q⁴" está sendo multiplicado por "3". Então se eu isolar "q⁴" eu passo o "3" para o outro lado dividindo. Então ficaremos:
q⁴ = 768/3 ----- agora note que a divisão de 768 por 3 dá exatamente "256". Logo:
q⁴ = 256 ------ agora veja: se q⁴ = 256, então é porque o "q" será igual a: ⁴√(256), ou seja: o "q" sozinho será igual à raiz quarta de (256). E raiz quarta de (256) é igual a "4". Logo, continuando e explicando o porquê de raiz quarta de (256) ser igual a "4", teremos:
q = ⁴√(256) ----- veja que 256 = 4⁴ . Assim, substituindo-se, teremos:
q = ⁴√(4⁴) ----- note que o "4", por estar elevado à 4ª potência, então ele sairá de dentro da raiz quarta, ficando:
q = 4 <--- Esta será a razão da PG.
Agora que já sabemos qual é a razão da PG (q = 4), vamos encontrar quais são esses três meios geométricos a serem inseridos. Para isso, basta utilizar a razão (q = 4) a partir do primeiro termo (a₁ = 3) para encontrar os demais termos. Assim:
a₁ = 3
a₂ = 3*4 = 12
a₃ = 12*4 = 48
a₄ = 48*4 = 192
a₅ = 192*4 = 768
Logo, os três termos (os três meios geométricos) a serem interpolados entre "3" e "768" serão: 12, 48 e 192.
Note que a PG completa com os seus 5 termos será esta, cujos termos interpolados estão marcados com uma seta:
(3; 12; 48; 192; 768)
. . . ↑ . .↑ . .↑ . . . .
É isso aí.
Agora melhorou o entendimento?
OK?
Adjemir.
jana9644:
estou lendo ,desde ja obrigada !!
Disponha, Jana, e bastante sucesso pra você. Um abraço.
então usei a fórmula mais perdi em dois pontos quando o q4=768/3 (foi isolado )não entendi e depois veio a raiz ??.
Veja, Jana, que temos: q⁴ = 768/3 ---- note que a divisão 768 por 3 vai dar exatamente 256. Aí fica: q⁴ = 256. Agora, se você isolar "q", então fica: q = raiz quarta de 256. E considerando que raiz quarta de 256 é igual a "4", então é por isso que a razão (q) é igual a "4". Entendeu? Se não tiver entendido pode dizer que teremos o prazer de dirimir qualquer dúvida sua, ok?
Continuando.... note que quando falamos em isolar tal incógnita significa encontrar o seu valor. Lembre-se que se x² = 4, então x = raiz quadrada de 4, o que dá x = 2. O que se fez aqui neste caso foi isolar "x" para encontrar o seu valor. E o mesmo ocorreu quando ficamos com: q⁴ = 256 ----- Aí fomos encontrar o valor de "q" (por isso é que dizemos: isolando "q", teremos...). OK?
an=a1.q n-1 (form.pg ) logo ;768=3.q(5-1);q4=768.3 (é exatamente nesse trecho que eu me perco )pq depois do trecho 768=3.q (5-1) pq nao resolve desde jeito ?? ctz tem uma regra a qual desculpa a ignorância não sei entra a resolução :q4=768/3 é em seguida ele usa o 4 como raiz quatratica
Jana, farei o seguinte: vou editar a resposta explicando cada passo, certo? Veja lá que vou editar a resposta.
ok ..obrigada ...
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