Question

interpolar três meios geométricos entre 3 e 768

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jana, que interpolar meios geométricos (ou mesmo aritméticos) entre dois extremos implica em que, primeiro, conheçamos a razão da sequência (observação: se for meios geométricos, então estamos tratando de uma PG; e se for meios aritméticos, estaremos tratando de uma PA).
Como estão sendo pedidos para interpolar 3 meios geométricos entre "3" e "768", então estamos tratando de uma PG.
Antes observe que essa PG vai ter 5 termos, pois já temos os dois extremos, que são o "3" e o "768" e ainda vamos inserir (ou interpolar, o que é a mesma coisa) mais 3 outros termos entre esses dois extremos. Portanto: 2 + 3 = 5.
Para isso, vamos aplicar a fórmula do termo geral de uma PG, que é dada da seguinte forma:

an = a₁*qⁿ⁻¹ .

Na fórmula acima, "an" é o último termo. Então, substituiremos "an" por "768". Por sua vez, "a₁" é o primeiro termo, que substituiremos por "3". Por seu turno "n" é o número de termos, que substituiremos por "5", pois, como você viu, a PG terá 5 termos (que são os dois extremos MAIS os três termos que vão ser interpolados). E, finalmente "q" é a razão da PG, que é o que vamos encontrar. Assim, fazendo essas substituições, teremos:

768 = 3*q⁵⁻¹
768 = 3*q⁴ ---- vamos apenas inverter, ficando:
3*q⁴ = 768 ------- Acho que até aqui você está entendendo, né?

Agora note que o "q⁴" está sendo multiplicado por "3". Então se eu isolar "q⁴" eu passo o "3" para o outro lado dividindo. Então ficaremos:
 
q⁴ = 768/3 ----- agora note que a divisão de 768 por 3 dá exatamente "256". Logo:

q⁴ = 256 ------ agora veja: se q⁴ = 256, então é porque o "q" será igual a: ⁴√(256), ou seja: o "q" sozinho será igual à raiz quarta de (256). E raiz quarta de (256) é igual a "4". Logo, continuando e explicando o porquê de raiz quarta de (256) ser igual a "4",  teremos:

q = ⁴√(256) ----- veja que 256 = 4⁴ . Assim, substituindo-se, teremos:
q =  ⁴√(4⁴) ----- note que o "4", por estar elevado à 4ª potência, então ele sairá de dentro da raiz quarta, ficando:

q = 4 <--- Esta será a razão da PG.

Agora que já sabemos qual é a razão da PG (q = 4), vamos encontrar quais são esses três meios geométricos a serem inseridos. Para isso, basta utilizar a razão (q = 4) a partir do primeiro termo (a₁ = 3) para encontrar os demais termos. Assim:

a₁ = 3
a₂ = 3*4 = 12
a₃ = 12*4 = 48
a₄ = 48*4 = 192
a₅ = 192*4 = 768

Logo, os três termos (os três meios geométricos) a serem interpolados entre "3" e "768" serão: 12, 48 e 192.
Note que a PG completa com os seus 5 termos será esta, cujos termos interpolados estão marcados com uma seta:

(3; 12; 48; 192; 768)
. . . ↑ . .↑  . .↑ . . . .

É isso aí.
Agora melhorou o entendimento?

OK?
Adjemir.