Question

interpolando-se seis meios geométricos entre 20.000 e 1/500 , determine ?
A) a razão da PG obtida
B) o 4° termo da PG

Answer 1

Interpolar $m$ meios geométricos entre dois números $a$ e $b$ é um problema de encontrar a razão da PG $\{a_{1},~a_{2},~...,~a_{n}\}$, onde $a_{1}=a$, $a_{n}=b$ e $n=2+m$
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a)

Queremos encontrar a razão da PG $\bigg\{20000,~a_{2},~a_{3},~a_{4},~a_{5},~a_{6},~a_{7},~\dfrac{1}{500}\bigg\}$

Temos $a_{1}=20000$ e $a_{8}=\dfrac{1}{500}$

Pela fórmula do termo geral da progressão geométrica:

$a_{8}=a_{1}\cdot q^{7}\\\\\dfrac{1}{500}=20000\cdot q^{7}\\\\\\q^{7}=\dfrac{1}{500\cdot20000}\\\\\\q^{7}=\dfrac{1}{5\cdot10^{2}\cdot2\cdot10^{4}}\\\\\\q^{7}=\dfrac{1}{5\cdot2\cdot10^{6}}\\\\\\q^{7}=\dfrac{1}{10\cdot10^{6}}=\dfrac{1}{10^{7}}=\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^{7}\\\\\\\therefore~q=\sqrt[7]{\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^{7}}~~\Rightarrow~~\boxed{\boxed{q=\dfrac{1}{10}}}$

b)

Pelo termo geral de uma progressão geométrica, temos

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\\\\a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1}\\\\a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}$

Substituindo:

$a_{4}=20000\cdot\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^{3}\\\\\\a_{4}=20000\cdot\dfrac{1}{1000}\\\\\\\boxed{\boxed{a_{4}=20}}$