Interpolação de dados
Com base na tabela, responda:
a) Usando os três últimos termos da tabela encontre o Polinômio Interpolador por resolução de sistemas.
a1) Calcule a aproximação de f(0,2) e de f(1,9).
b) Usando os três primeiros termos da tabela encontre o Polinômio Interpolador por resolução de sistemas.
b1) Calcule a aproximação de f(-1,7) e de f(-0,3).
c) Usando quatro termos da tabela encontre o Polinômio Interpolador por resolução de sistemas.
c1) Calcule a aproximação de f(-0,7) e f(0,9).
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) f(x) = - 2x² - 3x + 3
a1) 2,32 e - 9,92
b) f(x) = 10x² + 9x + 3
b1) 16,6 e 1,2
c) f(x) = - 2x² - 3x - 3
c1) -1,88 e -1,92
Explicação passo a passo:
Para encontrar o polinômio interpolador utilizando sistemas temos que para "n" pontos obtemos um polinômio interpolador de grau "n - 1".
a) Usando os três últimos termos da tabela encontre o Polinômio Interpolador por resolução de sistemas.
Neste caso nosso polinômio interpolador será de grau 2, isto é, da forma f(x) = ax² + bx + c.
Pela tabela temos:
f(0) = c = 3
f(1) = a + b + 3 = - 2 ⇒ a + b = - 5 (i)
f(2) = 4a + 2b + 3 = - 11 ⇒ 4a + 2b = - 14 (ii)
Subtraindo de (ii) o dobro de (I) obtemos:
2a = - 4
a = - 2 e b = - 3
portanto,
f(x) = - 2x² - 3x + 3
a1) Calcule a aproximação de f(0,2) e de f(1,9).
Utilizando o polinômio f(x) = - 2x² - 3x + 3 obtido no item a) temos:
f(0,2) = - 2 . (0,2)² - 3 . 0,2 + 3 = - 0,08 - 0,6 + 3 = 2,32
f(1,9) = - 2 . (1,9)² - 3 . 1,9 + 3 = - 7,22 - 5,7 + 3 = - 9,92
b) Usando os três primeiros termos da tabela encontre o Polinômio Interpolador por resolução de sistemas.
Neste caso nosso polinômio interpolador será de grau 2, isto é, da forma f(x) = ax² + bx + c.
Pela tabela temos:
f(0) = c = 3
f(- 1) = a - b + 3 = 4 ⇒ a - b = 1 (i)
f(- 2) = 4a - 2b + 3 = 25 ⇒ 4a - 2b = 22 (ii)
Subtraindo de (ii) o dobro de (I) obtemos:
2a = 20
a = 10 e b = 9
portanto,
f(x) = 10x² + 9x + 3
b1) Calcule a aproximação de f(-1,7) e de f(-0,3).
Utilizando o polinômio f(x) = 10x² + 9x + 3 obtido no item a) temos:
f(- 1,7) = 10 . (- 1,7)² + 9 . (- 1,7) + 3 = 28,9 - 15,3 + 3 = 16,6
f(- 0,3) = 10 . (-0,3)² +9 . (-0,3) + 3 = 0,9 - 2,7 + 3 = 1,2
c) Usando quatro termos da tabela encontre o Polinômio Interpolador por resolução de sistemas.
Neste caso nosso polinômio interpolador será de grau 3, isto é, da forma f(x) = ax³ + bx² + cx + d.
Pela tabela usando os quatro últimos termos:
f(- 1) = - a + b - c + d = 4 ⇒ - a + b - c = 1 (i)
f(0) = d = 3
f(1) = a + b + c + d = -2 ⇒ a + b +c = -5 (ii)
f(2) = 8a + 4b + 2c + d = - 11 ⇒ 8a + 4b + 2c = - 14 ⇒ 4a + 2b + c = - 7 (iii)
Somando (i) e (ii) obtemos:
2b = - 4
b = -2
portanto,
a + c = - 3
4a + c = -3
a = 0 e c = -3
f(x) = - 2x² - 3x - 3
c1) Calcule a aproximação de f(-0,7) e f(0,9).
f(-0,7) = -2.(-0,7)² - 3.(-0,7) - 3 = -0,98 + 2,1 - 3 = -1,88
f(0,9) = -2.(0,9)² - 3.(0,9) - 3 = -1,62 + 2,7 - 3 = -1,92