Question

Integre a seguinte funçao explicando passo a passo:

T-2/T^2-4T+3

Answer 1

$I=\displaystyle\int{\dfrac{t-2}{t^{2}-4t+3}\,dt}$


A função a ser integrada é uma função racional. Antes de partir para decomposição da função em frações parciais e tal, reparamos que o numerador é a derivada do denominador (a menos de uma constante multiplicativa). Observe:

$I=\displaystyle\int{\dfrac{t-2}{t^{2}-4t+3}\,dt}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}\int{\dfrac{2(t-2)}{t^{2}-4t+3}\,dt}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}\int{\dfrac{2t-4}{t^{2}-4t+3}\,dt}~~~~~~\mathbf{(i)}$


Então, podemos poupar trabalho fazendo uma substituição simples:

$t^{2}-4t+3=u~\Rightarrow~(2t-4)\,dt=du$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ a integral fica

$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int{\dfrac{du}{u}}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}\,\mathrm{\ell n}\left|u \right|+C\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}\,\mathrm{\ell n}\left|t^{2}-4t+3 \right|+C$

$\therefore~\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int{\dfrac{t-2}{t^{2}-4t+3}\,dt}=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{\ell n}\left|t^{2}-4t+3 \right|+C \end{array}}$