Question

Integrando por substituição:

fx . $\sqrt{ x^{2} + 1 } dx$

obtém-se:

A: $\sqrt{ 2x}$

B: $\frac{ \sqrt{ x^{2} + 1) ^{3} } }{3}$

C: $\sqrt{ (x^{2} +1) ^{3} }$

D: $\frac{ \sqrt{ x^{2} + 1} }{3}$

Answer 1

Faça um triângulo retângulo de catetos x, oposto a α, e 1, hipotenusa √(x^2+1)

x = tgα => dx = sec²α dα
√(x^2+1) = secα
∫(√x^2+1)dx = ∫secα sec²α dα = ∫sec³α dαc      (I)
∫secα sec²α dα = uv -∫vdu

∫sec³α = uv - ∫vdu

Sejam
secα = u => secα tgα dα = du

sec²α dα = dv => ∫sec²α dα = ∫dv => tgα = v

∫sec³α dα = secα tgα - ∫tgα secα tgα dα

∫sec³α dα = secα tgα - ∫secα tg²α dα

∫sec³α dα = secα tgα - ∫secα(sec²α - 1)dα

∫sec³α dα = secα tgα - ∫sec³α + ∫secα dα

2∫sec³α dα = secα tgα + ln|secα + tgα| + C₁

∫sec³α dα  = 1/2(secα + ln|secα + tgα|) + C

De ( I ) temos:

∫√(x² + 1) dx = 1/2( √(x² + 1) * x + ln| √(x² + 1) + x |) + C