Question

integrando por partes 4x.e^2x

Answer 1

O método da integração por partes é a versão da integração da regra do produto para a diferenciação. Fazemos: $\int\limits^a_b {4x e^{2x} } \, dx =$$\int\limits^a_b {u} \, dv = uv- \int\limits^a_b {v} \, du$.

O objetivo principal da integração por partes é escolher u e dv  para obter uma nova integral que é mais fácil de calcular do que a original. Em geral, não há regras imediatas e precisas para isso; é uma questão de experiência, que provém de muita prática.
Fazendo: u = 4x e dv = $e^{2x}dx$ e derivando u para obter du e integrando dv para obter v, temos:
se $u=4x$ então $du=4dx$
se $dv= e^{2x}dx$ temos: $\int\limits^a_b {1} \, dv= \int\limits^a_b { e^{2x} x} \, dx$ que é uma integral por substituição simples que dá v = $\frac{1}{2} e^{2x}$. Logo a integral dada fica assim:
$4x. \frac{1}{2} e^{2x} - \int\limits^a_b { \frac{1}{2} e^{2x}. 4} \, dx$
que simplificando fica:
$2x e^{2x} -2 \int\limits^a_b { e^{2x} } \, dx$
e resolvendo a última integral (repetida) fica assim:
$2x e^{2x}-2. \frac{1}{2} . e^{2x} +c$
$2x e^{2x} - e^{2x} +c = e^{2x} (2x-1)+c$