Question

Integral x^3+1/×^3-x^2-2x​

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\sf \int \frac{x {}^{3} + 1 }{x {}^{3} - x {}^{2} - 2x} dx$

Diferentemente das outras integrais, vamos começar primeiro com a divisão desses polinômios, para assim gerar uma expressão mais fácil de ser integrada.

$\begin{array}{c|c} \sf x {}^{3} + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: & \sf x {}^{3} - x {}^{2} - 2x \\ \sf - x {}^{3} + x {}^{2} + 2x& \sf \underbrace{1} _{quociente} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: &\sf \\ \sf \underbrace{(x {}^{2} + 2x + 1) }_{resto}\\ \end{array}$

Podemos então escrever essa integral como:

$\sf \int \frac{x {}^{3} + 1 }{x {}^{3} - x {}^{2} - 2x } dx = \int \left(Q + \frac{ R }{d} \right)dx \\ \\ \sf Q \to quociente \\ \sf R \to resto \\ \sf d \to dividendo$

Substituindo os respectivos valores nos seus devidos locais:

$\sf \int \left(1 + \frac{x {}^{2} + 2x + 1}{x {}^{3} - x {}^{2} - 2x } \right)dx$

Agora lembre-se que a integral da soma/subtração de funções é igual a integral de cada uma delas: $\sf \int [f(x)\pm g(x)]dx= \int [f(x)]dx \pm \int [g(x)] dx$, aplicando:

$\sf \int 1dx + \int \frac{x {}^{2} + 2x + 1 }{x {}^{3} - x {}^{2} - 2x} dx$

A integral da esquerda é bem simples de resolver, já a da direita devemos fazer algumas coisinhas. A primeira é a fatoração do numerador e denominador, por motivos de o cálculo ser "grande" colocarei as fatoraçoes de uma vez só:

$\sf \int 1dx + \int \frac{(x + 1).(x + 1) }{x.(x - 2) .(x + 1)} dx \\ \\ \sf \int 1dx + \int \frac{x + 1}{x.(x - 2)} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos aplicar as frações parciais na integral da direita:

$\sf \frac{x + 1}{x.(x - 2)} = \frac{A }{x} + \frac{ B}{x - 2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{x + 1}{x .(x - 2)} = \frac{A.(x - 2) + Bx}{x.(x - 2)} \\ \\ \sf x + 1 = Ax - 2A + Bx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf (A + B)x - 2A = 1x + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Podemos dizer que os termos em x são iguais ao termos em x e os termos sem x são iguais ao termos sem x:

$\begin{cases} \sf A + B = 1 \\ \sf - 2A =1 \end{cases} \\ \\ \begin{cases}\sf - 2A = 1 \: \: \: \: \: \: \\ \sf A = - \frac{1}{2} \: \: \: \: \end{cases} \begin{cases} \sf A + B = 1 \\ \sf - \frac{1}{2} +B = 1 \\ \sf B = 1 + \frac{1}{2} \\ \sf B = \frac{3}{2} \end{cases}$

Podemos então escrever a integral como:

$\sf \int 1dx + \int \left( \frac{ - \frac{1}{2} }{x} + \frac{ \frac{3}{2} }{x - 2} \right) dx \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \int 1dx + \int \frac{ - \frac{1 }{2} }{x} dx + \int \frac{ \frac{3}{2} }{x - 2} dx$

Removendo as constantes de dentro da integral:

$\sf 1\int x {}^{0} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 2} dx$

Agora é só aplicar a regra da potência para integrais e a integral de 1/x:

$\boxed{ \sf \int x {}^{n} dx = \int \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + C \: \: \: \: e \: \: \: \int \frac{1}{x} dx = ln |x| + C}$

Aplicando essas integrais:

$\sf 1. \frac{x {}^{0 +1 } }{0 + 1} - \frac{1}{2} . ln |x| + \frac{3}{2} ln |x - 2 + | C \\ \\ \boxed{ \sf x - \frac{1}{2} . ln |x| + \frac{3}{2} ln |x - 2 | +C} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\\ \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado