Question

Integral tripla para encontrar o volume do sólido. Ajuda ai por favor, obrigada!

Answer 1

O volume do sólido $D$ é dado pela integral tripla da função constante $1$ sobre o sólido:

$\text{Volume}(D)=\displaystyle\iiint\limits_{D}{1\,d\mathbf{V}}$


Nesta questão, o sólido $D$ pode ser descrito como a seguinte região do espaço (há mais de uma ordem possível de integração):

$D=\{(x,\;y,\;z)\in\mathbb{R}^{3}\left|\,0\leq z\leq 1;\;z^{2}\leq y\leq 1;\;0\leq x \leq 1-y\right.\}$


$\bullet\;\;$ Escrevendo a integral iterada, na ordem $dx\,dy\,dz,$ temos

$\text{Volume}(D)=\displaystyle\iiint\limits_{D}{1\,d\mathbf{V}}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{z^{2}}^{1}\int\limits_{0}^{1-y}{1\,dx\,dy\,dz}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{z^{2}}^{1}{x|_{0}^{1-y}\,dy\,dz}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{z^{2}}^{1}{(1-y)\,dy\,dz}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}{\left.\left(y-\frac{y^{2}}{2} \right )\right|_{z^{2}}^{1}\,dz}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}{\left[\left(1-\frac{1^{2}}{2} \right )-\left((z^{2})-\frac{(z^{2})^{2}}{2} \right ) \right ]\,dz}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}{\left(\frac{1}{2}-z^{2}+\frac{z^{4}}{2} \right )}dz$

$=\displaystyle\left.\left(\frac{z}{2}-\frac{z^{3}}{3}+\frac{z^{5}}{10} \right )\right|_{0}^{1}\\ \\ \\ =\frac{1}{2}-\frac{1^{3}}{3}+\frac{1^{5}}{10}\\ \\ \\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{10}\\ \\ \\ =\frac{15}{30}-\frac{10}{30}+\frac{3}{30}\\ \\ \\ =\frac{15-10+3}{30}\\ \\ \\ =\frac{8}{30}\\ \\ \\ =\frac{4}{15}\text{ u.v.}$