Question

Integral tripla de xy^2senz , onde G é o conjunto de pontos que satisfaz -1 x 1, 0 y 1 e 0 z pi/2.

Answer 1

Calcular a integral tripla

$\displaystyle\iiint_{G}{xy^{2}\,\mathrm{sen\,}z\,dV}$


sendo $G$ o paralelepípedo dado por

$(x,\,y,\,z)\in [-1,\,1]\times[0,\,1]\times [0,\,\pi/2].$


$\bullet\;\;$ Como o sólido de integração é um paralelepípedo, os extremos de integração são constantes. Portanto, podemos escolher arbitrariamente a ordem de integração.

Vou escolher, por conveniência, a ordem $dx\,dy\,dz:$

$\displaystyle\iiint_{G}{xy^{2}\,\mathrm{sen\,}z\,dV}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi/2}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{-1}^{1}{xy^{2}\,\mathrm{sen\,}z\,dx\,dy\,dz}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi/2}\int\limits_{0}^{1}{y^{2}\,\mathrm{sen\,}z\cdot \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{-1}^{1}\,dy\,dz}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi/2}\int\limits_{0}^{1}{y^{2}\,\mathrm{sen\,}z\cdot \left(\dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{(-1)^{2}}{2} \right )\,dy\,dz}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi/2}\int\limits_{0}^{1}{y^{2}\,\mathrm{sen\,}z\cdot \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \right )\,dy\,dz}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi/2}\int\limits_{0}^{1}{y^{2}\,\mathrm{sen\,}z\cdot 0\,dy\,dz}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi/2}\int\limits_{0}^{1}{0\;dy\,dz}\\ \\ \\ =0$